Examkin

Question

Difficulty: Very hardLogaritma Fonksiyonunun Tanımı ve En Geniş Tanım Kümesi
f(x)=log⁡x+42x−2(x2−2x−8100−x2)f(x) = \log_{\frac{x+4}{2x-2}}\left(\frac{x^2 - 2x - 8}{100 - x^2}\right)

fonksiyonu tanımlanıyor.

Buna göre, f(x)f(x) fonksiyonunun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı kaçtır?

Answer: -6

Answer

Fonksiyonun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı -6'dır.
Logaritma tanım kurallarına göre taban pozitif ve 1'den farklı, argüman ise pozitif olmalıdır. Bu koşullardan elde edilen eşitsizliklerin ortak çözüm kümesi olan (−10,−4)∪(4,6)∪(6,10)(-10, -4) \cup (4, 6) \cup (6, 10) aralığındaki tam sayıların toplamı −6-6 değerini verir.

Step-by-Step Solution

1
Tabanın pozitif olması koşulunu incele
x∈(−∞,−4)∪(1,∞)x \in (-\infty, -4) \cup (1, \infty)
Logaritmanın tabanı daima sıfırdan büyük olmalıdır.
2
Tabanın 1'den farklı olması koşulunu incele
x≠6x \neq 6
Logaritmanın tabanı 1 olamaz.
3
Argümanın pozitif olması koşulunu incele
x∈(−10,−2)∪(4,10)x \in (-10, -2) \cup (4, 10)
Logaritması alınan ifade daima sıfırdan büyük olmalıdır.
4
Bulunan koşulların kesişimini al
x∈(−10,−4)∪(4,6)∪(6,10)x \in (-10, -4) \cup (4, 6) \cup (6, 10)
Fonksiyonun tanımlı olabilmesi için tüm koşulların aynı anda sağlanması gerekir.
5
Tanım kümesindeki tam sayıları belirle ve topla
Tam sayılar: −9,−8,−7,−6,−5,5,7,8,9-9, -8, -7, -6, -5, 5, 7, 8, 9; Toplam: −6-6
Tanım kümesi aralıklarındaki tam sayı değerlerinin toplamı sorulmaktadır.

Key Concept

Logaritma fonksiyonunun en geniş tanım kümesi belirlenirken tabanın pozitif ve 1'den farklı, argümanın ise pozitif olması şartları rasyonel eşitsizlik sistemleri yardımıyla çözülür.
Rate this question

Topics

Logaritma Fonksiyonunun Tanımı ve En Geniş Tanım Kümesi