Examkin

Question

Difficulty: MediumTürevin Geometrik Yorumu (Teğet ve Normal)
Dik koordinat düzleminde,
f(x)=x2−3x+af(x) = x^2 - 3x + a
parabolüne üzerindeki x=2x = 2 apsisli noktadan çizilen teğet doğrusu,
g(x)=x3−2x2+bxg(x) = x^3 - 2x^2 + bx
eğrisine üzerindeki x=1x = 1 apsisli noktada da teğettir.

Buna göre, a+ba + b toplamı kaçtır?

  1. A
    0
  2. B
    4
  3. C
    5
  4. 6Answer
  5. E
    8

Answer

Parametrelerin toplamı olan 6 değeri doğru cevaptır.
Parabolün teğet doğrusunun denklemi y=x+a−4y = x + a - 4 olarak elde edilir. Eğrinin x=1x = 1 noktasındaki teğet eğimi olan b−1b - 1 değeri doğrunun eğimi olan 1'e eşitlenerek b=2b = 2 bulunur. Değme noktası (1,1)(1, 1) doğrunun üzerinde yerine yazılarak a=4a = 4 elde edilir. Buradan a+b=6a + b = 6 olur.

Step-by-Step Solution

1
Parabolün x=2x = 2 apsisli noktadaki teğetinin eğimini bulmak için fonksiyonun türevi alınır ve x=2x = 2 değeri yerine yazılır.
f′(x)=2x−3  ⟹  f′(2)=2(2)−3=1f'(x) = 2x - 3 \implies f'(2) = 2(2) - 3 = 1 olur. Teğet doğrusunun eğimi m=1m = 1'dir.
Bir fonksiyona üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun o noktadaki türev değerine eşittir.
2
Parabol üzerindeki teğet noktasının koordinatları belirlenir ve teğet doğrusunun denklemi yazılır.
x=2x = 2 için f(2)=22−3(2)+a=a−2f(2) = 2^2 - 3(2) + a = a - 2 olur. Nokta (2,a−2)(2, a - 2)'dir. Eğimi m=1m = 1 olan teğet doğrusunun denklemi: y−(a−2)=1⋅(x−2)  ⟹  y=x+a−4y - (a - 2) = 1 \cdot (x - 2) \implies y = x + a - 4 olarak bulunur.
Eğimi ve bir noktası bilinen doğru denklemi formülü kullanılarak teğet doğrusu elde edilir.
3
Bu teğet doğrusu g(x)g(x) eğrisine x=1x = 1 noktasında da teğet olduğundan, g(x)g(x)'in x=1x = 1 noktasındaki türevi teğet doğrusunun eğimine eşitlenerek bb bulunur.
g′(x)=3x2−4x+b  ⟹  g′(1)=3(1)2−4(1)+b=b−1g'(x) = 3x^2 - 4x + b \implies g'(1) = 3(1)^2 - 4(1) + b = b - 1 olur. Eğim 1 olduğundan b−1=1  ⟹  b=2b - 1 = 1 \implies b = 2 bulunur.
Aynı teğet doğrusunun eğimi her iki teğet noktasındaki türev değerine eşit olmalıdır.
4
Eğrinin teğet noktası teğet doğrusunu sağlamalıdır. Bu bilgi kullanılarak aa değeri bulunur.
b=2b = 2 için g(1)=13−2(1)2+2(1)=1g(1) = 1^3 - 2(1)^2 + 2(1) = 1 olur. Değme noktası (1,1)(1, 1)'dir. Bu nokta y=x+a−4y = x + a - 4 doğrusu üzerinde olduğundan 1=1+a−4  ⟹  a=41 = 1 + a - 4 \implies a = 4 bulunur.
Teğet noktası hem eğri denklemini hem de teğet doğrusunun denklemini sağlamak zorundadır.
5
Bulunan aa ve bb değerleri toplanarak sonuca ulaşılır.
a+b=4+2=6a + b = 4 + 2 = 6 olarak elde edilir.
Soru bizden bu iki parametrenin toplamını istemektedir.

Key Concept

Bir eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi, o noktadaki türev değerine eşittir. Ortak teğet doğrusu problemlerinde eğimlerin eşitliği ve teğet noktalarının doğrunun denklemini sağlaması koşulları kullanılır.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Türevin Geometrik Yorumu (Teğet ve Normal)

More questions from this topic