Examkin

Question

Difficulty: HardLogaritma Fonksiyonunun Tanımı ve En Geniş Tanım Kümesi
f(x)=log⁡x2−5x+5(x3−8x2+15x)+log⁡5(9−x)f(x) = \log_{x^2 - 5x + 5}(x^3 - 8x^2 + 15x) + \log_5(9 - x)

fonksiyonunun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı kaçtır?

  1. A
    24
  2. B
    23
  3. 21Answer
  4. D
    22
  5. E
    26

Answer

En geniş tanım kümesindeki tam sayılar��n toplamı 21'dir.
Logaritma fonksiyonunun tanım kümesi belirlenirken hem argümanın pozitif olması (x3−8x2+15x>0x^3-8x^2+15x > 0 ve 9−x>09-x > 0) hem de tabanın pozitif ve 1'den farklı olması (x2−5x+5>0x^2-5x+5 > 0 ve x2−5x+5≠1x^2-5x+5 \neq 1) koşullarının tamamı sağlanmalıdır. Bu koşulları sağlayan tam sayılar 6, 7 ve 8 olup, toplamları 21'dir.

Step-by-Step Solution

1
Birinci logaritma teriminin argümanının pozitif olma koşulu belirlenir.
x3−8x2+15x>0  ⟹  x(x−3)(x−5)>0x^3 - 8x^2 + 15x > 0 \implies x(x-3)(x-5) > 0. Bu ifadenin kökleri 00, 33 ve 55'tir. İşaret tablosu yapıldığında çözüm kümesi (0,3)∪(5,∞)(0, 3) \cup (5, \infty) aralığı olarak bulunur.
Logaritması alınan ifadenin tanımlı olabilmesi için sıfırdan büyük olması gerekir.
2
İkinci logaritma teriminin argümanının pozitif olma koşulu belirlenir ve birinci terimin argüman koşulu ile kesiştirilir.
9−x>0  ⟹  x<99 - x > 0 \implies x < 9. İlk adımda bulunan aralıkla kesiştirildiğinde, x∈(0,3)∪(5,9)x \in (0, 3) \cup (5, 9) aralığı elde edilir. Bu aralıktaki tam sayı adayları {1,2,6,7,8}\{1, 2, 6, 7, 8\} kümesidir.
Her iki logaritma teriminin de aynı anda tanımlı olması için argüman koşullarının kesişimi alınmalıdır.
3
Birinci logaritma teriminin taban koşulları (tabanın sıfırdan büyük ve 1'den farklı olması) incelenir.
Taban ifadesi x2−5x+5x^2 - 5x + 5 için:
1) x2−5x+5>0x^2 - 5x + 5 > 0 olmalıdır.
2) x2−5x+5≠1  ⟹  x2−5x+4≠0  ⟹  (x−1)(x−4)≠0  ⟹  x≠1x^2 - 5x + 5 \neq 1 \implies x^2 - 5x + 4 \neq 0 \implies (x-1)(x-4) \neq 0 \implies x \neq 1 ve x≠4x \neq 4 olmalıdır.
Logaritma tanımı gereği taban her zaman pozitif ve 1'den farklı bir gerçel sayı olmalıdır.
4
Aday tam sayılar taban koşullarına göre kontrol edilerek elenir ve kalanların toplamı hesaplanır.
Aday kümemiz {1,2,6,7,8}\{1, 2, 6, 7, 8\} idi:
- x=1x = 1 için: Taban 12−5(1)+5=11^2 - 5(1) + 5 = 1 olur. Taban 1 olamayacağı için 11 elenir.
- x=2x = 2 için: Taban 22−5(2)+5=−1<02^2 - 5(2) + 5 = -1 < 0 olur. Taban pozitif olacağı için 22 elenir.
- x=6x = 6 için: Taban 11>011 > 0 ve 11≠111 \neq 1 (sağlar).
- x=7x = 7 için: Taban 19>019 > 0 ve 19≠119 \neq 1 (sağlar).
- x=8x = 8 için: Taban 29>029 > 0 ve 29≠129 \neq 1 (sağlar).
Tanım kümesindeki tam sayılar {6,7,8}\{6, 7, 8\} olup toplamları 6+7+8=216 + 7 + 8 = 21 olarak hesaplanır.
Bulunan tam sayı adaylarından taban şartlarını bozmayanlar seçilerek en geniş tanım kümesindeki tam sayılar netleştirilir.

Key Concept

Logaritma Fonksiyonunun Tanımı ve En Geniş Tanım Kümesi
Rate this question

Topics

Logaritma Fonksiyonunun Tanımı ve En Geniş Tanım Kümesi