Examkin

Question

Difficulty: HardTemel Türev Alma Kuralları
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonu için
g(x)=(x2−x+2)⋅f(x)g(x) = (x^2 - x + 2) \cdot f(x)
h(x)=f(x)x2−x+2h(x) = \frac{f(x)}{x^2 - x + 2}
fonksiyonları tanımlanıyor.
g′(1)=8g'(1) = 8
h′(1)=1h'(1) = 1

olduğuna göre, k(x)=f(x)⋅(x3+f(x))k(x) = f(x) \cdot (x^3 + f(x)) fonksiyonu için k′(1)k'(1) değeri kaçtır?

Answer: 21

Answer

k'(1) değeri 21'dir.
g(x) ve h(x) fonksiyonlarının türevleri sırasıyla çarpım ve bölüm kuralları uygulanarak alınır. Elde edilen g'(1) = f(1) + 2f'(1) = 8 ve h'(1) = (2f'(1) - f(1))/4 = 1 denklemlerinden f(1) = 2 ve f'(1) = 3 değerlerine ulaşılır. Sonrasında k(x) = f(x) * (x^3 + f(x)) fonksiyonunun türevi çarpım kuralı ile alınarak k'(1) = f'(1)(1 + f(1)) + f(1)(3 + f'(1)) = 3(3) + 2(6) = 21 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
g(x) fonksiyonunun türevini çarpım kuralı ile alıp x = 1 yazarak ilk denklemi oluşturun.
f(1) + 2f'(1) = 8
Çarpım kuralına göre g'(x) = (2x - 1)f(x) + (x^2 - x + 2)f'(x) olur.
2
h(x) fonksiyonunun türevini bölüm kuralı ile alıp x = 1 yazarak ikinci denklemi oluşturun.
2f'(1) - f(1) = 4
Bölüm kuralına göre h'(x) = [f'(x)(x^2 - x + 2) - f(x)(2x - 1)] / (x^2 - x + 2)^2 olur.
3
Elde edilen denklem sistemini çözerek f(1) ve f'(1) değerlerini hesaplayın.
f(1) = 2 ve f'(1) = 3
Denklemleri taraf tarafa topladığımızda 4f'(1) = 12 elde edilir.
4
k(x) = f(x) * (x^3 + f(x)) ifadesinin türevini çarpım kuralı ile hesaplayıp x = 1 yazın.
k'(1) = 21
k'(x) = f'(x)(x^3 + f(x)) + f(x)(3x^2 + f'(x)) türevinde f(1) ve f'(1) değerlerini yerine koyarız.

Key Concept

Temel türev alma kuralları (çarpım ve bölüm kuralları)
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Temel Türev Alma Kuralları

More questions from this topic