Bir ABC üçgeninde, kenar uzunlukları a = 5\sqrt{3}\text{ birim} ve b = 13\text{ birim} ola… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Bir $ABC$ üçgeninde, kenar uzunlukları $a = 5\sqrt{3}\text{ birim}$ ve $b = 13\text{ birim}$ olarak verilmiştir.

$\sin C = \frac{1}{2}$ ve $\widehat{C}$ açısı dar açı olduğuna göre, bu üçgenin çevrel çemberinin yarıçapı kaç birimdir?

Çevrel çemberin yarıçapı

7

birimdir.

Verilen

a

b

kenarları ile aralarındaki

C

açısının ölçüsü (

30^\circ

) kullanılarak Kosinüs teoremi yardımıyla

c

kenarı

7

birim olarak hesaplanır. Ardından Sinüs teoremi formülü

\frac{c}{\sin C} = 2R

uygulanarak çevrel çemberin yarıçapı

7

birim olarak elde edilir.

\sin C = \frac{1}{2}

eşitliği ve

\widehat{C}

açısının dar açı olduğu bilgisi kullanılarak

C

açısının ölçüsü belirlenir.

m(\widehat{C}) = 30^\circ

Dar açı olan ve sinüsü

\frac{1}{2}

olan tek açı

30^\circ

dir.

Kosinüs teoremi uygulanarak

c

kenarının uzunluğu hesaplanır.

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C \implies c^2 = (5\sqrt{3})^2 + 13^2 - 2 \cdot 5\sqrt{3} \cdot 13 \cdot \cos 30^\circ = 75 + 169 - 130\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 244 - 195 = 49 \implies c = 7

birim

c

kenarını bulmak için bilinen iki kenar ile aralarındaki açı kullanılarak Kosinüs teoremi uygulanır.

Sinüs teoremi uygulanarak çevrel çemberin yarıçapı (

R

) bulunur.

\frac{c}{\sin C} = 2R \implies \frac{7}{\sin 30^\circ} = 2R \implies \frac{7}{1/2} = 2R \implies 14 = 2R \implies R = 7

birim

c

kenarı ve bu kenarın karşısındaki

C

açısı bilindiğinden Sinüs teoremi ile çevrel çemberin yarıçapına geçiş yapılır.

Sinüs Teoremi ile Kosinüs Teoreminin birlikte uygulanması

Estimated Time:2m 0s

Question