Examkin

Question

Difficulty: HardTers Trigonometrik Fonksiyonlar
arcsin⁡(x)−arccos⁡(x)=arcsin⁡(3x−2)\arcsin(x) - \arccos(x) = \arcsin(3x - 2) olduğuna göre, bu denklemi sağlayan ve tam sayı olmayan xx gerçel sayısı kaçtır?

Answer: 0.5

Answer

Denklemi sağlayan ve tam sayı olmayan gerçel sayı kökü 0.5'tir.
Denklemin çözümü sonucunda elde edilen kökler x = 1 ve x = 0.5 olup, tam sayı olmayan kök 0.5 değeridir.

Step-by-Step Solution

1
Ters trigonometrik özdeşliğin uygulanması
\arccos(x) yerine \frac{\pi}{2} - \arcsin(x) yazılması
Denklemi tek bir ters trigonometrik fonksiyon cinsinden ifade etmek amacıyla \arcsin(x) + \arccos(x) = \frac{\pi}{2} özdeşliği kullanılır.
2
Denklemin düzenlenmesi
2\arcsin(x) - \frac{\pi}{2} = \arcsin(3x - 2)
Denklemi sadeleştirip her iki tarafın sinüsünü alabilmek için düzenleme yapılır.
3
Değişken dönüşümü ve sinüs fonksiyonunun uygulanması
−cos⁡(2α)=3x−2-\cos(2\alpha) = 3x - 2
\arcsin(x) = \alpha dönüşümüyle \sin(2\alpha - \frac{\pi}{2}) = 3x - 2 elde edilir ve \sin(\theta - \frac{\pi}{2}) = -\cos(\theta) indirgemesi uygulanır.
4
Yarım açı formülü ile cebirsel denklemin elde edilmesi
2x^2 - 3x + 1 = 0
\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2(\alpha) = 1 - 2x^2 yarım açı formülü yerine yazılıp denklem düzenlenir.
5
Denkleminin çözülmesi ve uygun kökün seçilmesi
x = 0.5
İkinci dereceden denklemin kökleri x = 1 ve x = 0.5'tir. Soruda tam sayı olmayan gerçel kök istendiği için x = 0.5 alınır.

Key Concept

Ters Trigonometrik Fonksiyonların Özellikleri ve Denklemleri
Rate this question

Topics

Ters Trigonometrik Fonksiyonlar

More questions from this topic