Examkin

Question

Difficulty: HardTürevin Geometrik Yorumu (Teğet ve Normal)
Dik koordinat düzleminde,
f(x)=x3−6x2+10x−4f(x) = x^3 - 6x^2 + 10x - 4
eğrisinin A(1,f(1))A(1, f(1)) noktasındaki normal doğrusu, bu eğriyi AA noktasından farklı, apsisleri xB<xCx_B < x_C olan BB ve CC noktalarında kesmektedir.

Buna göre, eğrinin CC noktasındaki teğetinin eğimi ile BB noktasındaki normalinin eğiminin çarpımı kaçtır?

  1. 12\frac{1}{2}Answer
  2. B
    −2-2
  3. C
    22
  4. D
    −1-1
  5. E
    −12-\frac{1}{2}

Answer

Eğrinin CC noktasındaki teğetinin eğimi ile BB noktasındaki normalinin eğiminin çarpımı 12\frac{1}{2}'dir.
Doğru seçenekte sunulan 1/2 değeri, C noktasındaki teğetin eğimi olan 1 ile B noktasındaki normalin eğimi olan 1/2'nin çarpılmasıyla elde edilmiştir. Bu değerler, eğrinin ilgili noktalardaki türev değerlerinin diklik kuralı (mt⋅mn=−1m_t \cdot m_n = -1) ile işlenmesi sonucu doğru şekilde hesaplanmıştır.

Step-by-Step Solution

1
AA noktasının koordinatlarını ve fonksiyonun bu noktadaki türev değerini hesaplayın.
f(1)=13−6(1)2+10(1)−4=1f(1) = 1^3 - 6(1)^2 + 10(1) - 4 = 1 olduğundan teğet noktası A(1,1)A(1, 1)'dir. f′(x)=3x2−12x+10f'(x) = 3x^2 - 12x + 10 türev fonksiyonundan f′(1)=1f'(1) = 1 bulunur.
Normal doğrusunun eğimini bulabilmek için teğet noktasındaki türev değerine ihtiyaç duyulur.
2
A(1,1)A(1, 1) noktasındaki normal doğrusunun denklemini yazın.
Normal doğrusunun eğimi mn=−1f′(1)=−1m_n = -\frac{1}{f'(1)} = -1 olur. Eğimi −1-1 olan ve A(1,1)A(1, 1) noktasından geçen doğrunun denklemi y−1=−1(x−1)  ⟹  y=−x+2y - 1 = -1(x - 1) \implies y = -x + 2 olarak elde edilir.
Eğriyi kesen diğer noktaları bulmak için normal doğrusunun denklemi gereklidir.
3
Normal doğrusu ile eğrinin ortak çözümünü yaparak BB ve CC noktalarının apsislerini belirleyin.
x3−6x2+10x−4=−x+2  ⟹  x3−6x2+11x−6=0x^3 - 6x^2 + 10x - 4 = -x + 2 \implies x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0 denklemi elde edilir. Bu denklem (x−1)(x−2)(x−3)=0(x-1)(x-2)(x-3) = 0 olarak çarpanlarına ayrılır. Apsisler xA=1x_A = 1, xB=2x_B = 2 ve xC=3x_C = 3 olur (xB<xCx_B < x_C).
Normal doğrusunun eğriyi kestiği diğer iki noktanın apsislerini bulmak için ortak çözüm yapılır.
4
C(3,f(3))C(3, f(3)) noktasındaki teğet doğrusunun eğimini bulun.
CC noktasındaki teğet eğimi f′(3)=3(3)2−12(3)+10=1f'(3) = 3(3)^2 - 12(3) + 10 = 1 olarak hesaplanır.
İstenen çarpımın ilk bileşeni olan teğet eğimini bulmak için türev fonksiyonunda xC=3x_C = 3 yazılır.
5
B(2,f(2))B(2, f(2)) noktasındaki normal doğrusunun eğimini bulun.
BB noktasındaki teğet eğimi f′(2)=3(2)2−12(2)+10=−2f'(2) = 3(2)^2 - 12(2) + 10 = -2 olduğundan, normal doğrusunun eğimi mn,B=−1f′(2)=12m_{n, B} = -\frac{1}{f'(2)} = \frac{1}{2} olur.
İstenen çarpımın ikinci bileşeni olan normal doğrusu eğimini bulmak için diklik koşulu kullanılır.
6
Bulunan eğim değerlerini çarpın.
f′(3)×mn,B=1×12=12f'(3) \times m_{n, B} = 1 \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2} bulunur.
Soru kökünde bizden istenen çarpım değerini elde etmek için hesaplanan iki eğim çarpılır.

Key Concept

Bir fonksiyona üzerindeki bir noktadan çizilen teğet ile normal doğrularının eğimleri çarpımı -1'dir. Normal doğrusunun eğriyi kestiği diğer noktalardaki teğet ve normal eğimleri, o noktalardaki türev değerleri yardımıyla bulunur.
Rate this question

Topics

Türevin Geometrik Yorumu (Teğet ve Normal)

More questions from this topic