Examkin

Question

Difficulty: MediumTers Trigonometrik Fonksiyonlar
arcsin⁡(x)=arccot(23x)\arcsin(x) = \text{arccot}(2\sqrt{3}x)

denklemini sağlayan xx gerçel sayısı kaçtır?

  1. A
    −12-\frac{1}{2}
  2. B
    33\frac{\sqrt{3}}{3}
  3. 12\frac{1}{2}Answer
  4. D
    32\frac{\sqrt{3}}{2}
  5. E
    −33-\frac{\sqrt{3}}{3}

Answer

Bir bölü iki
Denklemi sağlayan değer bulunurken, ters trigonometrik fonksiyonların değer aralıkları (arcsin için [−π/2,π/2][-\pi/2, \pi/2] ve arccot için (0,π)(0, \pi)) dikkate alınmalıdır. Eşitliğin sağlanabilmesi için ortak değer aralığından dolayı her iki taraf da pozitif bir açıya eşit olmalıdır. Bu durum x>0x > 0 olmasını gerektirir. Trigonometrik özdeşlikler kullanılarak elde edilen 12x4+x2−1=012x^4 + x^2 - 1 = 0 denkleminden x2=1/4x^2 = 1/4 bulunur. x>0x > 0 koşulunu sağlayan tek kök bir bölü iki değeridir.

Step-by-Step Solution

1
Denklemin her iki tarafını bir θ\theta açısına eşitleyip ters trigonometrik fonksiyonların değer kümelerini incelemek.
θ=arcsin⁡(x)=arccot(23x)\theta = \arcsin(x) = \text{arccot}(2\sqrt{3}x)

Burada arcsin⁡(x)∈[−π/2,π/2]\arcsin(x) \in [-\pi/2, \pi/2] ve arccot(23x)∈(0,π)\text{arccot}(2\sqrt{3}x) \in (0, \pi) olduğundan, eşitliğin sağlanması için ortak değer aralığı θ∈(0,π/2]\theta \in (0, \pi/2] olmalıdır. Bu durum sin⁡(θ)=x>0\sin(\theta) = x > 0 olmasını gerektirir.
Ters trigonometrik fonksiyonların tanımlı oldukları değer aralıkları, bulunacak köklerin işaretini ve geçerliliğini belirler.
2
Trigonometrik tanımları kullanarak cos⁡(θ)\cos(\theta) ifadesini xx cinsinden yazmak.
sin⁡(θ)=x\sin(\theta) = x

cot⁡(θ)=23x\cot(\theta) = 2\sqrt{3}x

cos⁡(θ)=cot⁡(θ)⋅sin⁡(θ)=(23x)⋅x=23x2\cos(\theta) = \cot(\theta) \cdot \sin(\theta) = (2\sqrt{3}x) \cdot x = 2\sqrt{3}x^2
Temel trigonometrik özdeşliklerden yararlanarak tüm ifadeleri tek bir değişken cinsinden ifade etmek.
3
sin⁡2(θ)+cos⁡2(θ)=1\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1 temel kimliğini uygulamak ve xx değişkenine bağlı denklemi elde etmek.
x2+(23x2)2=1x^2 + (2\sqrt{3}x^2)^2 = 1

12x4+x2−1=012x^4 + x^2 - 1 = 0
Sinüs ve kosinüs arasındaki temel Pisagor özdeşliğini kullanarak cebirsel bir denklem kurmak.
4
t=x2t = x^2 dönüşümü yaparak elde edilen ikinci dereceden denklemi çözmek.
12t2+t−1=0  ⟹  (4t−1)(3t+1)=012t^2 + t - 1 = 0 \implies (4t - 1)(3t + 1) = 0

Burada t≥0t \ge 0 olması gerektiğinden t=14t = \frac{1}{4} bulunur. Buradan x2=14x^2 = \frac{1}{4} elde edilir.
Dördüncü dereceden bir denklemi, değişken değiştirme yöntemiyle ikinci dereceden denkleme indirgeyerek çarpanlarına ayırmak.
5
x2=14x^2 = \frac{1}{4} denkleminin köklerini bulmak ve tanım aralığına uygun olan kökü seçmek.
x=12x = \frac{1}{2} veya x=−12x = -\frac{1}{2}

İlk adımda belirlenen x>0x > 0 koşulu nedeniyle yalnızca x=12x = \frac{1}{2} değeri çözümdür.
Bulunan cebirsel köklerin, başlangıçtaki ters trigonometrik fonksiyon tanım ve değer aralıklarına uygunluğunu denetlemek.

Key Concept

Ters trigonometrik fonksiyonların tanım ve değer kümeleri ile temel trigonometrik özdeşlikler arasındaki ilişki.
Rate this question

Topics

Ters Trigonometrik Fonksiyonlar

More questions from this topic