Examkin

Question

Difficulty: HardParabolün Tepe Noktası ve Simetri Ekseni
Dik koordinat düzleminde, aa bir gerçel sayı olmak üzere,
f(x)=x2−2ax+a2−2af(x) = x^2 - 2ax + a^2 - 2a
parabolü veriliyor. Bu parabolün tepe noktasının orijine olan uzaklığı, parabolün simetri ekseni ile y=3x−2y = 3x - 2 doğrusunun kesişim noktasının orijine olan uzaklığına eşittir.

Buna göre, aa gerçel sayısının alabileceği tam sayı değeri kaçtır?

Answer: 2

Answer

Parabolün tepe noktasının ve simetri ekseni ile doğrunun kesişim noktasının orijine olan uzaklıklarının eşitlenmesiyle elde edilen denklemin tam sayı kökü olan 2'dir.
Parabolün tepe noktası T(a,−2a)T(a, -2a) ve simetri ekseni x=ax = a doğrusudur. Kesişim noktası P(a,3a−2)P(a, 3a - 2)'dir. Bu iki noktanın apsisleri aynı olduğundan, orijine olan uzaklıklarının eşit olması ordinatlarının mutlak değerce eşit olmasını gerektirir. Buradan ∣−2a∣=∣3a−2∣|-2a| = |3a - 2| eşitliği kurulur. Bu denklemin çözümlerinden elde edilen tam sayı kök 2'dir.

Step-by-Step Solution

1
Parabolün tepe noktasının koordinatlarını belirleme
f(x)=x2−2ax+a2−2af(x) = x^2 - 2ax + a^2 - 2a parabolünün tepe noktası T(r,k)T(r, k) olsun. r=−−2a2=ar = -\frac{-2a}{2} = a ve k=f(a)=a2−2a2+a2−2a=−2ak = f(a) = a^2 - 2a^2 + a^2 - 2a = -2a olduğundan T(a,−2a)T(a, -2a) elde edilir.
Tepe noktasının koordinatları (r,f(r))(r, f(r)) formülü ile bulunur.
2
Tepe noktasının orijine olan uzaklığının karesini hesaplama
∣OT∣2=a2+(−2a)2=5a2|OT|^2 = a^2 + (-2a)^2 = 5a^2
İki nokta arasındaki uzaklık formülü uygulanmıştır.
3
Simetri ekseni ile doğrunun kesişim noktasını bulma
Parabolün simetri ekseni x=r  ⟹  x=ax = r \implies x = a doğrusudur. Bu doğrunun y=3x−2y = 3x - 2 doğrusuyla kesişim noktası P(a,3a−2)P(a, 3a - 2) olur.
Kesişim noktasının apsisi simetri ekseni üzerinde olduğu için aa'dır; ordinatı ise doğru denkleminde yerine yazılarak bulunur.
4
Kesişim noktasının orijine olan uzaklığının karesini hesaplama ve uzaklıkları eşitleme
∣OP∣2=a2+(3a−2)2|OP|^2 = a^2 + (3a-2)^2. Uzaklıkların eşitliğinden ∣OT∣2=∣OP∣2  ⟹  5a2=a2+(3a−2)2  ⟹  5a2=10a2−12a+4  ⟹  5a2−12a+4=0|OT|^2 = |OP|^2 \implies 5a^2 = a^2 + (3a-2)^2 \implies 5a^2 = 10a^2 - 12a + 4 \implies 5a^2 - 12a + 4 = 0 denklemi elde edilir.
Soruda her iki noktanın da orijine olan uzaklıklarının eşit olduğu belirtilmiştir.
5
İkinci dereceden denklemi çözüp tam sayı olan kökü seçme
5a2−12a+4=0  ⟹  (5a−2)(a−2)=05a^2 - 12a + 4 = 0 \implies (5a - 2)(a - 2) = 0 olur. Buradan a=25a = \frac{2}{5} veya a=2a = 2 bulunur. Tam sayı değeri istendiği için a=2a = 2 olarak elde edilir.
Çarpanlara ayırma yöntemiyle denklemin kökleri bulunmuş ve tam sayı olan kök seçilmiştir.

Key Concept

Parabolün tepe noktası T(r,k)T(r, k) ve simetri ekseni x=rx = r doğrusudur. Parabol üzerindeki noktaların veya simetri ekseniyle ilişkili geometrik yapıların analitik incelenmesinde uzaklık formülü kullanılır.

Alternative Method

Tepe noktasının ve kesişim noktasının apsisleri aynı (x=ax = a) olduğundan, bu noktaların orijine olan uzaklıklarının eşit olması ancak ve ancak ordinatlarının mutlak değerce eşit olmasıyla mümkündür. Yani ∣−2a∣=∣3a−2∣|-2a| = |3a - 2| denklemi kurulabilir. Buradan −2a=−(3a−2)  ⟹  a=2-2a = -(3a - 2) \implies a = 2 veya −2a=3a−2  ⟹  a=2/5-2a = 3a - 2 \implies a = 2/5 hızlıca bulunur.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Parabolün Tepe Noktası ve Simetri Ekseni

More questions from this topic