Examkin

Question

Difficulty: Very hardTürevin Geometrik Yorumu (Teğet ve Normal)
Dik koordinat düzleminde,
f(x)=x2−2x+3f(x) = x^2 - 2x + 3
parabolüne dışındaki bir P(a,b)P(a, b) noktasından çizilen teğet doğruları birbirine diktir.
PP noktası
g(x)=−x2+4x+kg(x) = -x^2 + 4x + k
parabolünün tepe noktası olduğuna göre, kk kaçtır?
  1. −94-\frac{9}{4}Answer
  2. B
    −74-\frac{7}{4}
  3. C
    −54-\frac{5}{4}
  4. D
    −6-6
  5. E
    554\frac{55}{4}

Answer

k sayısının de��eri -9/4 olmalıdır.
Doğru cevap olan seçenekteki değer, parabole dışındaki bir noktadan çizilen teğetlerin dik kesişme şartı olan eğimler çarpımının −1-1 olması kuralı ve parabolün tepe noktası koordinatları eksiksiz uygulanarak elde edilmiştir.

Step-by-Step Solution

1
f(x)=x2−2x+3f(x) = x^2 - 2x + 3 fonksiyonunun türevi alınır.
f′(x)=2x−2f'(x) = 2x - 2
Parabol üzerindeki herhangi bir teğet noktasındaki teğet doğrusunun eğimini veren fonksiyonu bulmak için türev alınır.
2
Parabol üzerindeki genel bir T(t,t2−2t+3)T(t, t^2 - 2t + 3) teğet noktasından çizilen teğet doğrusunun denklemi yazılır.
y−(t2−2t+3)=(2t−2)(x−t)⇒y=(2t−2)x−t2+3y - (t^2 - 2t + 3) = (2t - 2)(x - t) \Rightarrow y = (2t - 2)x - t^2 + 3
Noktası ve eğimi bilinen doğru denklemi formülü uygulanarak teğet doğrusunun genel denklemi oluşturulur.
3
Teğet doğrusunun dışındaki P(a,b)P(a, b) noktasından geçtiği bilgisi kullanılarak tt değişkenine bağlı ikinci dereceden bir denklem elde edilir.
b=(2t−2)a−t2+3⇒t2−2at+2a+b−3=0b = (2t - 2)a - t^2 + 3 \Rightarrow t^2 - 2at + 2a + b - 3 = 0
P(a,b)P(a, b) noktası teğet doğrusunun üzerinde olduğundan koordinatları doğru denklemini sağlamak zorundadır.
4
Çizilen teğet doğrularının birbirine dik olması koşulu kökler cinsinden ifade edilir.
m1⋅m2=−1⇒(2t1−2)(2t2−2)=−1⇒4(t1t2−(t1+t2)+1)=−1m_1 \cdot m_2 = -1 \Rightarrow (2t_1 - 2)(2t_2 - 2) = -1 \Rightarrow 4(t_1 t_2 - (t_1 + t_2) + 1) = -1
Teğet noktalarının apsisleri t1t_1 ve t2t_2, teğetlerin eğimleri ise m1=2t1−2m_1 = 2t_1 - 2 ve m2=2t2−2m_2 = 2t_2 - 2 olup, dik doğruların eğimler çarpımı −1-1'dir.
5
Elde edilen tt değişkenine bağlı ikinci dereceden denklemden kökler toplamı ve kökler çarpımı çekilerek diklik bağıntısında yerine yazılır ve bb değeri bulunur.
t1+t2=2at_1 + t_2 = 2a ve t1t2=2a+b−3t_1 t_2 = 2a + b - 3 değerleri yerine yazıldığında: 4(2a+b−3−2a+1)=−1⇒4(b−2)=−1⇒b=744(2a + b - 3 - 2a + 1) = -1 \Rightarrow 4(b - 2) = -1 \Rightarrow b = \frac{7}{4}
İkinci dereceden denklemin kök-katsayı ilişkileri kullanılarak teğetlerin geçtiği noktanın ordinatı bb doğrudan hesaplanır.
6
P(a,b)P(a, b) noktasının g(x)=−x2+4x+kg(x) = -x^2 + 4x + k parabolünün tepe noktası olduğu bilgisi kullanılarak kk değeri hesaplanır.
r=−42(−1)=2⇒Pr = -\frac{4}{2(-1)} = 2 \Rightarrow P noktasının apsisi a=2a = 2'dir. Tepe noktasının ordinatı g(2)=b=74⇒−(2)2+4(2)+k=74⇒4+k=74⇒k=−94g(2) = b = \frac{7}{4} \Rightarrow -(2)^2 + 4(2) + k = \frac{7}{4} \Rightarrow 4 + k = \frac{7}{4} \Rightarrow k = -\frac{9}{4}
PP noktasının koordinatları, tepe noktasının koordinat formülleri kullanılarak g(x)g(x) parabolüyle eşleştirilir.

Key Concept

Bir eğriye dışındaki bir noktadan çizilen teğetlerin denklemleri, teğetlerin dik kesişmesi koşulu ve parabolün tepe noktası ilişkisi.
Rate this question

Topics

Türevin Geometrik Yorumu (Teğet ve Normal)

More questions from this topic