Examkin

Question

Difficulty: HardDizi Kavramı ve Genel Terim
an=n2−11n+ka_n = \sqrt{n^2 - 11n + k}

ifadesi bir gerçel sayı dizisinin genel terimi olduğuna göre, kk tam sayısının alabileceği en küçük değer kaçtır?

  1. A
    10
  2. B
    28
  3. 30Answer
  4. D
    31
  5. E
    36

Answer

k tam sayısının alabileceği en küçük değer 30'dur.
Dizinin genel teriminin gerçel sayı belirtmesi için kök içindeki ifadenin tüm pozitif tam sayılar (n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+) için sıfırdan büyük veya eşit olması gerekir. Buradan elde edilen k≥11n−n2k \geq 11n - n^2 eşitsizliğinde, 11n−n211n - n^2 ifadesinin pozitif tam sayılarda alabileceği en büyük değer tepe noktası r=5.5r = 5.5 civarındaki n=5n=5 ve n=6n=6 değerleri için 30'dur. Dolayısıyla k≥30k \geq 30 olmalıdır ve kk'nın alabileceği en küçük değer 30'dur.

Step-by-Step Solution

1
Dizinin tanım kümesi kuralını uygulamak.
ana_n ifadesinin bir gerçel sayı dizisinin genel terimi olabilmesi için tüm n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ (pozitif tam sayılar) değerleri için tanımlı olması gerekir.
Bir dizinin terimleri a1,a2,a3,…a_1, a_2, a_3, \dots şeklinde pozitif tam sayılar kümesi üzerinde tanımlı fonksiyonlardır.
2
Kareköklü ifadenin reel sayılarda tanımlılık şartını belirlemek.
Kökün içindeki ifade negatif olmamalıdır: Her n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ için n2−11n+k≥0n^2 - 11n + k \geq 0 sağlanmalıdır.
Çift dereceli köklü ifadelerin gerçel sayı belirtmesi için kök içinin sıfırdan büyük veya eşit olması şarttır.
3
Eşitsizliği kk parametresi cinsinden düzenlemek.
Her n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ için k≥11n−n2k \geq 11n - n^2 elde edilir.
Parametrenin alabileceği değer aralığını bulmak için bilinmeyen terimleri karşı tarafa toplarız.
4
f(n)=11n−n2f(n) = 11n - n^2 ifadesinin pozitif tam sayılardaki maksimum değerini bulmak.
f(n)f(n) parabolünün tepe noktası r=5.5r = 5.5 apsisli noktadadır. nn tam sayı olması gerektiğinden, tepe noktasına en yakın tam sayılar olan n=5n=5 veya n=6n=6 için en büyük değer elde edilir: f(5)=f(6)=11(5)−52=30f(5) = f(6) = 11(5) - 5^2 = 30.
Karesel bir ifadenin en büyük değeri tepe noktasında veya tepe noktasına en yakın tam sayı değerlerinde elde edilir.
5
kk için alt sınırı belirlemek ve en küçük tam sayı değerini bulmak.
k≥30k \geq 30 olmalıdır. Dolayısıyla kk'nın alabileceği en küçük tam sayı değeri 30'dur.
Her nn pozitif tam sayısı için eşitsizliğin sağlanabilmesi, kk değerinin bu kümedeki maksimum değerden küçük olmamasına bağlıdır.

Key Concept

Dizi genel teriminin tanımlı olması için indis değişkeninin pozitif tam sayılar kümesinde yer alması ve bu kümedeki sınır koşullarının incelenmesi.
Rate this question

Topics

Dizi Kavramı ve Genel Terim

More questions from this topic