f ve g, (0, \infty) aralığında tanımlı, pozitif değerli ve türevlenebilir iki fonksiyondur. Her x > 0 için f(x) \cdot g(x) = x^3 + 4x^2 + 12 \frac{f(x)}{g(x)} = x^2 \neşitlikleri sağlanmaktadır. Buna göre, H(x) = \frac{x \cdot f(x) + g(x)}{f(x) \cdot g(x)} olarak tanımlanan H(x) fonksiyonunun x = 2

f ve g, (0, \infty) aralığında tanımlı, pozitif değerli ve türevlenebilir iki fonksiyondur… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

$f$ ve $g$ , $(0, \infty)$ aralığında tanımlı, pozitif değerli ve türevlenebilir iki fonksiyondur.

Her

x > 0

için

f(x) \cdot g(x) = x^3 + 4x^2 + 12

\frac{f(x)}{g(x)} = x^2

eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, $H(x) = \frac{x \cdot f(x) + g(x)}{f(x) \cdot g(x)}$ olarak tanımlanan $H(x)$ fonksiyonunun $x = 2$ noktasındaki türevi olan $H'(2)$ değeri kaçtır?

A
$-\frac{1}{4}$
B
$0$
$\frac{1}{3}$ Answer
D
$\frac{5}{27}$
E
$\frac{13}{27}$

Answer

H'(2) değeri

\frac{1}{3}

olarak bulunur.

Verilen fonksiyonel ilişkilerden yararlanılarak

x=2

için

f(2)=12

g(2)=3

değerleri elde edilir. Çarpım ve bölüm türevi kuralları uygulanarak türev değerleri

f'(2)=\frac{32}{3}

g'(2)=-\frac{1}{3}

olarak hesaplanır.

H(x)

fonksiyonu

\frac{x}{g(x)} + \frac{1}{f(x)}

şeklinde parçalanıp türevi alındığında doğru sonuca ulaşılır.

Step-by-Step Solution

Verilen eşitliklerden

x = 2

için

f(2)

g(2)

değerlerini bulunuz.

f(2) \cdot g(2) = 2^3 + 4(2)^2 + 12 = 36

\frac{f(2)}{g(2)} = 2^2 = 4

elde edilir. Fonksiyonlar pozitif değerli olduğundan

f(2) = 4g(2)

yazılıp çarpım denkleminde yerine konulursa

4[g(2)]^2 = 36 \Rightarrow g(2) = 3

ve dolayısıyla

f(2) = 12

bulunur.

Türev hesaplamalarında kullanılacak olan fonksiyon değerlerini belirlemek amacıyla.

Eşitliklerin türevlerini alarak

f'(2)

g'(2)

değerlerini bulunuz.

Çarpım türevi kuralından:

f'(x)g(x) + f(x)g'(x) = 3x^2 + 8x

x=2

için:

3f'(2) + 12g'(2) = 28

olur. Bölüm türevi kuralından:

\frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2} = 2x

x=2

için:

\frac{3f'(2) - 12g'(2)}{9} = 4 \Rightarrow 3f'(2) - 12g'(2) = 36

olur. Bu iki denklemin ortak çözümünden

f'(2) = \frac{32}{3}

g'(2) = -\frac{1}{3}

elde edilir.

H'(2)

ifadesinde kullanılacak fonksiyon türev değerlerini bulmak amacıyla.

H(x)

ifadesini cebirsel olarak sadeleştirip türevini alınız.

H(x) = \frac{x \cdot f(x) + g(x)}{f(x) \cdot g(x)} = \frac{x \cdot f(x)}{f(x) \cdot g(x)} + \frac{g(x)}{f(x) \cdot g(x)} = \frac{x}{g(x)} + \frac{1}{f(x)}

olur. Her iki tarafın türevi alındığında

H'(x) = \frac{1 \cdot g(x) - x \cdot g'(x)}{[g(x)]^2} - \frac{f'(x)}{[f(x)]^2}

elde edilir.

H'(x)

türev fonksiyonunu daha basit ve hesaplaması kolay bir biçimde ifade etmek amacıyla.

Bulunan değerleri türev fonksiyonunda yerine yazarak

H'(2)

değerini hesaplayınız.

H'(2) = \frac{3 - 2(-\frac{1}{3})}{9} - \frac{\frac{32}{3}}{144} = \frac{\frac{11}{3}}{9} - \frac{32}{432} = \frac{11}{27} - \frac{2}{27} = \frac{9}{27} = \frac{1}{3}

elde edilir.

Soruda istenen nihai sonuca ulaşmak amacıyla.

Key Concept

Temel Türev Alma Kuralları

Estimated Time:3m 0s

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic