Examkin

Question

Difficulty: MediumTürevin Geometrik Yorumu (Teğet ve Normal)

Dik koordinat düzleminde, aa bir gerçel sayı olmak üzere,

f(x)=x+ax−2f(x) = \frac{x+a}{x-2}

eğrisinin x=3x = 3 apsisli noktasındaki teğet doğrusu,
3y−x+6=03y - x + 6 = 0

doğrusuna diktir.

Buna göre, bu teğet doğrusunun yy eksenini kestiği noktanın ordinatı kaçtır?

  1. 13Answer
  2. B
    12
  3. C
    15
  4. D
    5
  5. E
    -11

Answer

Teğet doğrusunun y eksenini kestiği noktanın ordinatı 13'tür.
Teğet doğrusunun eğimi türev yardımıyla bulunur. Diklik koşulundan teğet doğrusunun eğimi -3 olarak elde edilir. Buradan a = 1 bulunur ve teğet noktası (3, 4) olarak belirlenir. Bu noktadan geçen ve eğimi -3 olan doğrunun denklemi y = -3x + 13 olup, y eksenini kestiği noktanın ordinatı 13'tür.

Step-by-Step Solution

1
Verilen 3y−x+6=03y - x + 6 = 0 doğrusunun eğimini bulmak.
Eğim m2=13m_2 = \frac{1}{3} olarak bulunur.
Doğru denklemi y=13x−2y = \frac{1}{3}x - 2 şeklinde düzenlendiğinde xx'in katsayısı doğrunun eğimini verir.
2
Teğet doğrusunun eğimini (m1m_1) diklik koşulunu kullanarak belirlemek.
Teğet doğrusunun e��imi m1=−3m_1 = -3 olarak bulunur.
Birbirine dik doğruların eğimleri çarpımı −1-1'dir (m1⋅m2=−1⇒m1⋅13=−1m_1 \cdot m_2 = -1 \Rightarrow m_1 \cdot \frac{1}{3} = -1).
3
f(x)f(x) fonksiyonunun türevini alıp x=3x=3 noktasındaki türev değerini teğetin eğimine eşitlemek.
f′(x)=−2−a(x−2)2f'(x) = \frac{-2-a}{(x-2)^2} olup x=3x=3 için f′(3)=−2−a=−3⇒a=1f'(3) = -2-a = -3 \Rightarrow a = 1 bulunur.
Bir fonksiyona üzerindeki bir noktadan çizilen teğetin eğimi, fonksiyonun o noktadaki türevine eşittir.
4
Teğet noktasının koordinatlarını bulmak.
a=1a = 1 için f(3)=3+13−2=4f(3) = \frac{3+1}{3-2} = 4 olup teğet noktası (3,4)(3, 4)'tür.
Teğet noktası fonksiyon eğrisinin üzerinde olduğundan koordinatları fonksiyon denklemini sağlar.
5
Teğet doğrusunun denklemini yazmak ve yy eksenini kestiği noktanın ordinatını bulmak.
Doğru denklemi y−4=−3(x−3)⇒y=−3x+13y - 4 = -3(x - 3) \Rightarrow y = -3x + 13 olur. x=0x=0 için y=13y=13 bulunur.
Eğimi ve bir noktası bilinen doğru denklemi formülü uygulanır. yy eksenini kestiği noktanın ordinatını bulmak için x=0x=0 yazılır.

Key Concept

Bir eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun o noktadaki birinci türevine eşittir. Birbirine dik doğruların eğimleri çarpımı -1'dir.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Türevin Geometrik Yorumu (Teğet ve Normal)

More questions from this topic