Bir tarım araştırma istasyonunda, iki farklı toprak türüne ekilen A ve B bitki tohumlarını… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Bir tarım araştırma istasyonunda, iki farklı toprak türüne ekilen $A$ ve $B$ bitki tohumlarının çimlenme olasılıkları sırasıyla $\frac{3}{8}$ ve $p$ olarak belirlenmiştir. Bu tohumların çimlenme durumları birbirinden bağımsız olaylardır. Yapılan gözlem sonucunda bu tohumlardan en az birinin çimlendiği bilindiğine göre, her ikisinin de çimlenmiş olma olasılığı $\frac{1}{4}$ 'tür. Buna göre, $B$ tohumunun çimlenme olasılığı olan $p$ değeri en sade şekilde $\frac{a}{b}$ rasyonel sayısı olarak yazıldığında $a + b$ toplamı kaçtır?

Answer: 10

Answer

Aranan toplamın değeri 10'dur.

Verilen bağımsız olayların kesişim olasılığı

P(A \cap B) = \frac{3p}{8}

ve birleşim olasılığı

P(A \cup B) = \frac{3 + 5p}{8}

olarak hesaplanır. 'En az birinin çimlendiği bilindiğine göre her ikisinin de çimlenmiş olması' koşullu olasılığı

\frac{P(A \cap B)}{P(A \cup B)} = \frac{3p}{3+5p}

oranına eşittir. Bu oran

\frac{1}{4}

'e eşitlendiğinde

p = \frac{3}{7}

bulunur. En sade haldeki bu kesrin pay ve paydasının toplamı

3 + 7 = 10

yapmaktadır.

Step-by-Step Solution

A ve B olaylarının bağımsızlığı kullanılarak kesişim ve birleşim olasılıkları

p

cinsinden ifade edilir.

P(A \cap B) = \frac{3p}{8}

P(A \cup B) = \frac{3 + 5p}{8}

Bağımsız olaylarda kesişim olasılığı

P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)

formülüyle, birleşim olasılığı ise

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

formülüyle hesaplanır.

Koşullu olasılık tanımı uygulanır.

P(A \cap B \mid A \cup B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A \cup B)} = \frac{3p}{3 + 5p} = \frac{1}{4}

Tohumlardan en az birinin çimlendiği bilindiğine göre her ikisinin de çimlenmiş olma olasılığı, kesişim olasılığının birleşim olasılığına oranıyla bulunur.

Elde edilen denklem çözülerek

p

değeri ve ardından

a + b

toplamı hesaplanır.

p = \frac{3}{7}

ve buradan

a + b = 3 + 7 = 10

\frac{3p}{3 + 5p} = \frac{1}{4}

denkleminde içler dışlar çarpımı yapıldığında

12p = 3 + 5p \implies 7p = 3 \implies p = \frac{3}{7}

elde edilir. 3 ve 7 sayıları aralarında asal olduğundan en sade biçimdeki kesrin payı

a = 3

, paydası

b = 7

alınarak toplamları 10 bulunur.

Key Concept

Bağımsız olayların kesişim ve birleşim olasılıklarının koşullu olasılık formülünde yerine yazılması.

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic