Examkin

Question

Difficulty: HardParabolün Tepe Noktası ve Simetri Ekseni

Dik koordinat düzleminde, f(x)=x2−6x+11f(x) = x^2 - 6x + 11 parabolünün tepe noktası TT'dir. Bu parabol aa birim sağa ve bb birim yukarı ötelendiğinde tepe noktası SS olan g(x)g(x) parabolü elde edilmektedir.

TT ve SS noktaları y=2x−4y = 2x - 4 doğrusu üzerinde yer almaktadır.

g(x)g(x) parabolünün yy eksenini kestiği noktanın ordinatı 2020 olduğuna göre, a+ba + b toplamı kaçtır?

  1. 3Answer
  2. B
    9
  3. C
    27
  4. D
    -6
  5. E
    -9

Answer

Öteleme miktarlarının toplamı 3'tür.
Parabolün tepe noktası olan T(3, 2) noktasının a birim sağa ve b birim yukarı ötelenmesiyle elde edilen S(3+a, 2+b) noktası y = 2x - 4 doğrusu üzerindedir. Doğru denklemi sağlandığında b = 2a ilişkisine ulaşılır. Yeni parabolün denklemi g(x) = (x - a - 3)^2 + 2 + 2a şeklinde yazılıp x = 0 için y-keseni 20'ye eşitlendiğinde a = 1 (a > 0) ve dolayısıyla b = 2 bulunur. Buradan a + b = 3 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Verilen f(x) fonksiyonunun tepe noktasını bulmak için tam kareye tamamlama yöntemi uygulanır veya tepe noktası formülü kullanılır.
f(x)=(x−3)2+2f(x) = (x-3)^2 + 2 biçiminde yazılır. Buradan tepe noktası T(3,2)T(3, 2) olarak bulunur.
Öteleme işlemlerini gerçekleştirmek için başlangıç parabolünün tepe noktası koordinatlarına ihtiyaç duyulur.
2
T(3, 2) noktasının y = 2x - 4 doğrusu üzerinde yer aldığı kontrol edilir ve öteleme sonrası yeni tepe noktası olan S koordinatları yazılır.
2=2(3)−4  ⟹  2=22 = 2(3) - 4 \implies 2 = 2 sağlandığı görülür. Parabol aa birim sağa ve bb birim yukarı ötelendiğinden yeni tepe noktası S(3+a,2+b)S(3+a, 2+b) olur.
Öteleme işlemi tepe noktasının koordinatlarını doğrudan etkiler.
3
S(3+a, 2+b) noktası da y = 2x - 4 doğrusu üzerinde olduğundan koordinatlar denklemde yerine yazılarak a ve b arasındaki ilişki elde edilir.
2+b=2(3+a)−4  ⟹  2+b=6+2a−4  ⟹  b=2a2+b = 2(3+a) - 4 \implies 2+b = 6+2a-4 \implies b = 2a elde edilir.
İki bilinmeyenli öteleme parametrelerini tek bir değişkene indirgemek için doğrusal ilişki kullanılır.
4
g(x) parabolünün denklemi oluşturulur. Başkatsayı öteleme ile değişmeyeceğinden yine 1'dir. y-eksenini kestiği noktanın ordinatı kullanılarak a değeri çözülür.
g(x)=(x−(3+a))2+(2+b)=(x−a−3)2+2+2ag(x) = (x - (3+a))^2 + (2+b) = (x - a - 3)^2 + 2 + 2a olur. g(0)=20  ⟹  (−(a+3))2+2+2a=20  ⟹  a2+8a+11=20  ⟹  a2+8a−9=0  ⟹  (a+9)(a−1)=0g(0) = 20 \implies (-(a+3))^2 + 2 + 2a = 20 \implies a^2 + 8a + 11 = 20 \implies a^2 + 8a - 9 = 0 \implies (a+9)(a-1) = 0 bulunur. a>0a > 0 olması gerektiğinden a=1a = 1'dir.
Parabolün y-eksenini kestiği noktanın ordinatı x = 0 için fonksiyon değeridir.
5
Bulunan a değeri kullanılarak b değeri ve ardından a + b toplamı hesaplanır.
b=2a  ⟹  b=2(1)=2b = 2a \implies b = 2(1) = 2 bulunur. Buradan a+b=1+2=3a + b = 1 + 2 = 3 elde edilir.
İstenen öteleme miktarlarının toplamına ulaşılması amaçlanır.

Key Concept

Bir parabolün ötelenmesiyle elde edilen yeni parabolün tepe noktası, orijinal parabolün tepe noktasının aynı miktarlarda ötelenmesiyle bulunur. Bir noktanın bir doğru üzerinde yer alması, noktanın koordinatlarının doğru denklemini sağlamasını gerektirir.
Rate this question

Topics

Parabolün Tepe Noktası ve Simetri Ekseni

More questions from this topic