Examkin

Question

Difficulty: Very hardDönerek Öteleme Hareketi ve Dönme Kinetik Enerjisi

Sürtünmeli bir eğik düzlemin aynı yüksekliğinden serbest bırakılan, eşit kütleli ve eşit yarıçaplı homojen katı bir küre ile homojen katı bir silindir eğik düzlem üzerinde kaymadan dönerek öteleme hareketi yapmaktadır. Cisimler eğik düzlemin en alt ucuna ulaştıklarında, kürenin sahip olduğu dönme kinetik enerjisi, silindirin sahip olduğu dönme kinetik enerjisinden daha büyüktür.

Answer: Answer

Answer

Verilen ifade yanlıştır. Silindirin en alt noktadaki dönme kinetik enerjisi, kürenin dönme kinetik enerjisinden daha büyüktür.
Verilen ifade yanlıştır çünkü silindirin dönme kinetik enerjisine ayrılan enerji oranı (toplam enerjinin 1/3'ü), kürenin dönme kinetik enerjisine ayrılan orandan (toplam enerjinin 2/7'si) daha büyüktür. Başlangıçtaki potansiyel enerjiler eşit olduğundan, en alt noktada silindirin dönme kinetik enerjisi küreninkinden daha büyük olur.

Step-by-Step Solution

1
Cisimlerin eylemsizlik momentlerini belirleyin.
Homojen katı küre için eylemsizlik momenti Iku¨re=25mR2I_{\text{küre}} = \frac{2}{5}mR^2, homojen katı silindir için ise Isilindir=12mR2I_{\text{silindir}} = \frac{1}{2}mR^2 şeklindedir.
Cisimlerin geometrik şekillerine göre dönmeye karşı gösterdikleri direnci (eylemsizlik momentlerini) karşılaştırmak amacıyla yazılır.
2
Kaymadan dönme koşulunu kullanarak çizgisel hız ile açısal hız arasındaki ilişkiyi kurun.
Kaymadan dönerek öteleme hareketi yapan cisimlerin kütle merkezinin çizgisel hız�� vv ile açısal hız ω\omega arasında v=ωRv = \omega R ilişkisi mevcuttur. Buradan ω=vR\omega = \frac{v}{R} yazılır.
Dönme ve öteleme kinetik enerjilerini tek bir hız parametresi cinsinden ifade edebilmek için.
3
Her iki cisim için toplam kinetik enerji ifadesini yazın ve mekanik enerjinin korunumunu uygulayın.
Başlangıçtaki potansiyel enerji Epot=mghE_{\text{pot}} = mgh, en alt noktada tamamen kinetik enerjiye dönüşür: mgh=Eo¨t+Edo¨n=12mv2+12Iω2mgh = E_{\text{öt}} + E_{\text{dön}} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2. İlgili eylemsizlik momentleri yerine yazıldığında; küre için mgh=12mvku¨re2+12(25mR2)(vku¨reR)2=710mvku¨re2mgh = \frac{1}{2}mv_{\text{küre}}^2 + \frac{1}{2}(\frac{2}{5}mR^2)(\frac{v_{\text{küre}}}{R})^2 = \frac{7}{10}mv_{\text{küre}}^2, silindir için mgh=12mvsilindir2+12(12mR2)(vsilindirR)2=34mvsilindir2mgh = \frac{1}{2}mv_{\text{silindir}}^2 + \frac{1}{2}(\frac{1}{2}mR^2)(\frac{v_{\text{silindir}}}{R})^2 = \frac{3}{4}mv_{\text{silindir}}^2 bulunur.
Dışarıdan enerji kaybettiren bir dış kuvvet (net iş yapan) olmadığından mekanik enerji korunur ve bu sayede cisimlerin en alt noktadaki çizgisel hızları bulunabilir.
4
Dönme kinetik enerjilerini toplam mekanik enerji (mghmgh) cinsinden hesaplayın ve karşılaştırın.
Küre için: Edo¨n, ku¨re=15mvku¨re2E_{\text{dön, küre}} = \frac{1}{5}mv_{\text{küre}}^2 ifadesinde mvku¨re2=107mghmv_{\text{küre}}^2 = \frac{10}{7}mgh yazılırsa Edo¨n, ku¨re=27mgh≈0,286mghE_{\text{dön, küre}} = \frac{2}{7}mgh \approx 0,286mgh bulunur. Silindir için: Edo¨n, silindir=14mvsilindir2E_{\text{dön, silindir}} = \frac{1}{4}mv_{\text{silindir}}^2 ifadesinde mvsilindir2=43mghmv_{\text{silindir}}^2 = \frac{4}{3}mgh yazılırsa Edo¨n, silindir=13mgh≈0,333mghE_{\text{dön, silindir}} = \frac{1}{3}mgh \approx 0,333mgh bulunur. 13>27\frac{1}{3} > \frac{2}{7} olduğundan silindirin dönme kinetik enerjisi küreninkinden büyüktür.
En alt noktadaki dönme kinetik enerjilerinin sayısal oranlarını doğrudan karşılaştırıp ifadenin doğruluğunu teyit etmek için.

Key Concept

Kaymadan dönerek öteleme hareketinde mekanik enerjinin korunumu geçerlidir; ancak toplam kinetik enerjinin dönme ve öteleme bileşenleri arasındaki paylaşım oranı cismin eylemsizlik momentine bağlıdır. Eylemsizlik momenti katsayısı büyük olan cismin dönmeye ayırdığı enerji payı daha fazladır.

Alternative Method

Kaymadan dönerek öteleme hareketi yapan bir cismin dönme kinetik enerjisinin toplam kinetik enerjiye oranı Edo¨nEtoplam=ImR2+I\frac{E_{\text{dön}}}{E_{\text{toplam}}} = \frac{I}{mR^2 + I} genel formülüyle doğrudan hesaplanabilir. Küre için bu oran 2/51+2/5=27\frac{2/5}{1 + 2/5} = \frac{2}{7}, silindir için ise 1/21+1/2=13\frac{1/2}{1 + 1/2} = \frac{1}{3} olur. Başlangıçtaki potansiyel enerjiler eşit olduğundan (Etoplam=mghE_{\text{toplam}} = mgh), oranlar doğrudan dönme kinetik enerjilerinin büyüklük sırasını verir. 13>27\frac{1}{3} > \frac{2}{7} olduğu için silindirin dönme kinetik enerjisi küreninkinden büyüktür.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Dönerek Öteleme Hareketi ve Dönme Kinetik Enerjisi

More questions from this topic