Examkin

Question

Difficulty: HardSinüs Teoremi
Bir ABCABC üçgeninin kenar uzunlukları aa, bb, cc birim ve çevrel çemberinin yarıçapı RR birimdir. Bu üçgenin kenarları ve açıları arasında
b2+c2−a2=−bcb^2 + c^2 - a^2 = -bc
sin⁡B⋅sin⁡C=14\sin B \cdot \sin C = \frac{1}{4}
bağıntıları bulunduğuna göre, ABCABC üçgeninin alanının R2R^2 cinsinden değeri aşağıdakilerden hangisidir?
  1. A
    316\frac{\sqrt{3}}{16}
  2. B
    38\frac{\sqrt{3}}{8}
  3. C
    14\frac{1}{4}
  4. 34\frac{\sqrt{3}}{4}Answer
  5. E
    32\frac{\sqrt{3}}{2}

Answer

Üçgenin alanının R2R^2 cinsinden değeri 34\frac{\sqrt{3}}{4} olarak bulunur.
Doğru olan değer, Kosinüs Teoremi yardımıyla tepe açısının A=120∘A = 120^\circ ve dolayısıyla sin⁡A=32\sin A = \frac{\sqrt{3}}{2} bulunması, ardından Sinüs Teoremi ile bc=R2bc = R^2 bağıntısının elde edilip alan formülünde yerine konulmasıyla elde edilen 34\frac{\sqrt{3}}{4} değeridir.

Step-by-Step Solution

1
Kosinüs Teoremi kullanılarak AA açısının ölçüsünü belirleme.
a2=b2+c2−2bccos⁡Aa^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A Kosinüs Teoremi bağıntısıdır. Soruda verilen b2+c2−a2=−bcb^2 + c^2 - a^2 = -bc ifadesi düzenlendiğinde a2=b2+c2+bca^2 = b^2 + c^2 + bc elde edilir. Bu iki eşitlik karşılaştırıldığında −2bccos⁡A=bc  ⟹  cos⁡A=−12-2bc \cos A = bc \implies \cos A = -\frac{1}{2} bulunur. ABCABC üçgeninin bir iç açısı olan AA açısı buradan 120∘120^\circ olarak belirlenir.
Üçgenin alan formülünde kullanılacak olan sin⁡A\sin A değerini elde etmek.
2
Sinüs Teoremi kullanılarak bcbc çarpımını çevrel çemberin yarıçapı RR cinsinden ifade etme.
Sinüs Teoremi gereği b=2Rsin⁡Bb = 2R \sin B ve c=2Rsin⁡Cc = 2R \sin C eşitlikleri geçerlidir. Bu iki eşitlik taraf tarafa çarpıldığında bc=4R2sin⁡Bsin⁡Cbc = 4R^2 \sin B \sin C elde edilir.
Kenar uzunlukları ile çevrel ��emberin yarıçapı arasında ilişki kurarak alan hesaplamasını yarıçap cinsinden yapabilmek.
3
Soruda verilen sinüs değerleri çarpımını yerine yazarak bcbc ifadesinin değerini bulma.
sin⁡B⋅sin⁡C=14\sin B \cdot \sin C = \frac{1}{4} değeri yerine yazıldığında bc=4R2⋅14=R2bc = 4R^2 \cdot \frac{1}{4} = R^2 olarak bulunur.
bcbc çarpımının değerini netleştirmek.
4
Üçgenin alan formülünü uygulayarak sonucu bulma.
Alan(ABC)=12bcsin⁡A\text{Alan}(ABC) = \frac{1}{2} bc \sin A formülünde elde edilen değerler yerine yazılır: Alan(ABC)=12⋅R2⋅sin⁡(120∘)=12R2⋅32=34R2\text{Alan}(ABC) = \frac{1}{2} \cdot R^2 \cdot \sin(120^\circ) = \frac{1}{2} R^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4} R^2 elde edilir. Buradan alanın R2R^2 cinsinden değeri 34\frac{\sqrt{3}}{4} bulunur.
Üçgenin alanını nihai olarak hesaplamak.

Key Concept

Sinüs ve Kosinüs teoremlerinin birlikte kullanılması ile üçgen alanının çevrel çemberin yarıçapı cinsinden ifade edilmesi.
Rate this question

Topics

Sinüs Teoremi

More questions from this topic