Examkin

Question

Difficulty: MediumTers Trigonometrik Fonksiyonlar
f(x)=arcsin⁡(2x−15)+arctan⁡(x−1)f(x) = \arcsin\left(\frac{2x-1}{5}\right) + \arctan\left(\sqrt{x-1}\right)

fonksiyonunun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı kaçtır?

Answer: 6

Answer

En geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı 6'dır.
Fonksiyonun en geniş tanım kümesi, bileşenlerinin tanım kümelerinin kesişimidir. arcsin teriminden -2 <= x <= 3 ve köklü terimden x >= 1 koşulları elde edilir. Bu iki aralığın kesişimi olan [1, 3] aralığındaki tam sayılar 1, 2 ve 3 olup, bunların toplamı 6'dır.

Step-by-Step Solution

1
arcsin⁡(2x−15)\arcsin\left(\frac{2x-1}{5}\right) ifadesinin tanımlı olması için gerekli koşulu belirleme.
−2≤x≤3-2 \le x \le 3
arcsin⁡(u)\arcsin(u) fonksiyonunun tanım kümesi [−1,1][-1, 1] aralığıdır. Dolayısıyla −1≤2x−15≤1-1 \le \frac{2x-1}{5} \le 1 olmalıdır. Buradan −5≤2x−1≤5⇒−4≤2x≤6⇒−2≤x≤3-5 \le 2x - 1 \le 5 \Rightarrow -4 \le 2x \le 6 \Rightarrow -2 \le x \le 3 elde edilir.
2
arctan⁡(x−1)\arctan\left(\sqrt{x-1}\right) ifadesinin tanımlı olması için gerekli koşulu belirleme.
x≥1x \ge 1
arctan⁡(u)\arctan(u) fonksiyonu tüm gerçel sayılar için tanımlıdır. Ancak x−1\sqrt{x-1} ifadesinin gerçel sayılarda tanımlı olabilmesi için kök içinin negatif olmaması, yani x−1≥0⇒x≥1x - 1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1 olması gerekir.
3
İki ifadenin tanım kümelerinin kesişimini alarak f(x)f(x) fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulma.
1≤x≤31 \le x \le 3
Fonksiyonun tanımlı olabilmesi için her iki terimin de aynı anda tanımlı olması gerekir. Bu yüzden −2≤x≤3-2 \le x \le 3 ve x≥1x \ge 1 eşitsizliklerinin kesişimi alınır.
4
Tanım kümesindeki tam sayı değerlerini belirleme.
1, 2 ve 3
[1,3][1, 3] kapalı aralığındaki tam sayılar 1, 2 ve 3'tür.
5
Belirlenen tam sayıların toplamını hesaplama.
6
1, 2 ve 3 sayılarının toplamı 1+2+3=61 + 2 + 3 = 6 eder.

Key Concept

Ters trigonometrik fonksiyonlardan arcsin(x) fonksiyonunun tanım kümesinin [-1, 1] aralığı olması ve fonksiyonların en geniş tanım kümelerinin kesişim yöntemiyle bulunması.
Rate this question

Topics

Ters Trigonometrik Fonksiyonlar

More questions from this topic