Examkin

Diziler

192 questions

All types192Multiple choice101Numeric82Fill in the blank9
Question 181Question →

Bir çevre koruma derneği, bir bölgeyi ağaçlandırmak amacıyla bir kampanya başlatmıştır. Kampanyanın ilk ayında sahaya 2020 adet fidan dikilmiştir. Dernek, her sonraki ay dikilen fidan sayısını bir önceki aya göre sabit bir miktarda artırmayı hedeflemektedir. Kampanya planına göre, 1010. ayda dikilen fidan sayısı ile ilk ay dikilen fidan sayısının toplamı 130130'dur. Buna göre, bu kampanyanın ilk 1515 ayında dikilen toplam fidan sayısı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 1350

Answer

İlk 15 ayda dikilen toplam fidan sayısı 1350'dir.
Kampanyanın ilk ayındaki fidan sayısı a1=20a_1 = 20 olarak verilmiştir. Her ay dikilen fidan sayısı sabit bir ortak farkla (dd) arttığı için bu durum bir aritmetik dizi belirtir. 1010. aydaki fidan sayısı a10=a1+9da_{10} = a_1 + 9d olur. Soruda verilen a10+a1=130a_{10} + a_1 = 130 eşitliği kullanılarak 20+9d+20=130  ⟹  9d=90  ⟹  d=1020 + 9d + 20 = 130 \implies 9d = 90 \implies d = 10 elde edilir. İlk 1515 ayda dikilen toplam fidan sayısı S15=152(2a1+14d)S_{15} = \frac{15}{2}(2a_1 + 14d) formülüyle hesaplanır. Değerler yerine konulduğunda S15=152(40+140)=15×90=1350S_{15} = \frac{15}{2}(40 + 140) = 15 \times 90 = 1350 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Problemdeki verileri aritmetik dizi terimleri cinsinden ifade etme.
a1=20a_1 = 20 ve a10+a1=130a_{10} + a_1 = 130 olarak yazılır.
Soruda fidan sayısının her ay sabit bir miktarda arttığı belirtildiği için bu artış bir aritmetik dizi oluşturur.
2
Dizinin ortak farkını (dd) bulma.
a10=a1+9da_{10} = a_1 + 9d yazılır. Buradan (a1+9d)+a1=130  ⟹  2a1+9d=130(a_1 + 9d) + a_1 = 130 \implies 2a_1 + 9d = 130 elde edilir. a1=20a_1 = 20 değeri yerine yazıldığında: 2(20)+9d=130  ⟹  40+9d=130  ⟹  9d=90  ⟹  d=102(20) + 9d = 130 \implies 40 + 9d = 130 \implies 9d = 90 \implies d = 10 bulunur.
Toplam fidan sayısını hesaplayabilmek için dizinin ortak farkını (aylık artış miktarını) bulmamız gerekir.
3
İlk 15 ayda dikilen toplam fidan sayısını (S15S_{15}) hesaplama.
S15=152⋅[2a1+14d]S_{15} = \frac{15}{2} \cdot [2a_1 + 14d] formülü kullanılır. Değerler yerine yazıldığında: S15=152⋅[2(20)+14(10)]=152⋅[40+140]=152⋅180=15⋅90=1350S_{15} = \frac{15}{2} \cdot [2(20) + 14(10)] = \frac{15}{2} \cdot [40 + 140] = \frac{15}{2} \cdot 180 = 15 \cdot 90 = 1350 bulunur.
Aritmetik dizide ilk nn terim toplamı formülü Sn=n2[2a1+(n−1)d]S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)d] olduğu için ilk 15 ayın toplamı bu formülle elde edilir.

Key Concept

Aritmetik dizilerde genel terim ve ilk n terim toplamı formüllerinin gerçek hayat problemlerine uygulanması.
Estimated Time:2m 0s
Question 182Question →
Ortak farkı pozitif olan bir (an)(a_n) aritmetik dizisi için,
a6+a14=40a_6 + a_{14} = 40
a3⋅a17−a102=−196a_3 \cdot a_{17} - a_{10}^2 = -196
eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, bu dizinin ilk terimi olan a1a_1 kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 2

Answer

Dizinin ilk terimi olan a1a_1 değeri 2'dir.
Dizinin terimlerinin indisleri arasındaki ilişkiden yararlanarak a10=20a_{10} = 20 bulunur. Ardından a3⋅a17a_3 \cdot a_{17} ifadesi a10a_{10} cinsinden yazılarak iki kare farkı özdeşliği yardımıyla ortak fark r=2r = 2 olarak elde edilir. Buradan a10=a1+9ra_{10} = a_1 + 9r bağıntısı kullanılarak ilk terim 2 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
a6+a14=40a_6 + a_{14} = 40 eşitliğini kullanarak a10a_{10} terimini hesaplayınız.
a10=20a_{10} = 20
Aritmetik dizilerde terim indislerinin toplamı eşitse terimlerin toplamı da eşittir. 6+14=10+106 + 14 = 10 + 10 olduğundan a6+a14=2a10a_6 + a_{14} = 2a_{10} eşitliği sağlanır.
2
a3a_3 ve a17a_{17} terimlerini a10a_{10} ve ortak fark rr cinsinden yazarak verilen ikinci eşitlikten rr değerini bulunuz.
r=2r = 2
a3=a10−7ra_3 = a_{10} - 7r ve a17=a10+7ra_{17} = a_{10} + 7r çarpımı iki kare farkı özdeşliğinden a102−49r2a_{10}^2 - 49r^2 sonucunu verir. Eşitlikte yerine yazıldığında −49r2=−196  ⟹  r2=4-49r^2 = -196 \implies r^2 = 4 olur. Ortak fark pozitif olduğundan r=2r = 2 olarak alınır.
3
a10a_{10} ve rr değerlerini kullanarak dizinin ilk terimi olan a1a_1'i hesaplayınız.
a1=2a_1 = 2
a10=a1+9ra_{10} = a_1 + 9r genel terim ilişkisinde bilinen değerler yerine yazıldığında 20=a1+18  ⟹  a1=220 = a_1 + 18 \implies a_1 = 2 elde edilir.

Key Concept

Aritmetik dizilerde terimlerin indis özellikleri ve ortak fark yardımıyla birbirleri cinsinden yazılması
Question 183Question →

Bir güneş enerjisi santralinde, panellerin tozlanması sebebiyle üretilen günlük elektrik enerjisi miktarı her gün bir önceki güne göre sabit bir oranda azalmaktadır. Bu santralde 1. gün üretilen elektrik enerjisi miktarı 640 kWh640\text{ kWh}, 4. gün üretilen elektrik enerjisi miktarı ise 270 kWh270\text{ kWh} olarak ölçülmüştür. Buna göre, bu santralde ilk 3 günde üretilen toplam elektrik enerjisi miktarı kaç kWh\text{kWh}'tir?

Show answer & explanation

Answer: 1480

Answer

Santralde ilk 3 günde üretilen toplam elektrik enerjisi miktarı 1480 kWh'tir.
Santralin günlük elektrik üretimi geometrik bir dizi oluşturmaktadır. Birinci terimi 640 ve dördüncü terimi 270 olan bu dizinin ortak oranı 3/4'tür. İkinci terim 480 ve üçüncü terim 360 olup, ilk üç günün toplamı 1480 olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Tozlanma nedeniyle üretimin sabit bir oranda azalması durumunu geometrik dizi olarak modellemek amacıyla birinci günün üretimini birinci terim (a1=640a_1 = 640) ve dördüncü günün üretimini dördüncü terim (a4=270a_4 = 270) olarak belirlemek.
a1=640a_1 = 640 ve a4=270a_4 = 270 değerleri elde edilir.
Soruda verilen günlere ait üretim miktarlarını dizinin terimleriyle ilişkilendirmek.
2
Geometrik dizinin terimleri arasındaki a4=a1⋅r3a_4 = a_1 \cdot r^3 ilişkisini kullanarak dizinin ortak oranını (rr) hesaplamak. 270=640⋅r3  ⟹  r3=270640=2764270 = 640 \cdot r^3 \implies r^3 = \frac{270}{640} = \frac{27}{64} eşitliğinden her iki tarafın küp kökü alınır.
r=34r = \frac{3}{4} olarak bulunur.
Sonraki günlerin üretim miktarlarını hesaplayabilmek için ortak çarpanı (azalış oranını) tespit etmek.
3
Bulunan ortak oran yardımıyla 2. ve 3. günlerin üretim miktarlarını bulup ilk 3 günün toplamını hesaplamak. a2=640⋅34=480 kWha_2 = 640 \cdot \frac{3}{4} = 480\text{ kWh}, a3=480⋅34=360 kWha_3 = 480 \cdot \frac{3}{4} = 360\text{ kWh} değerleri hesaplanır. İlk üç günün toplamı S3=640+480+360S_3 = 640 + 480 + 360 şeklinde toplanır.
S3=1480 kWhS_3 = 1480\text{ kWh} elde edilir.
İlk 3 günde üretilen toplam elektrik enerjisi miktarını bulmak.

Key Concept

Geometrik dizilerin günlük hayattaki azalış/artış problemlerine uygulanması ve ilk n terim toplamının bulunması.
Question 184Question →

Bir öğrenci, yaz tatilinde okuduğu bir kitabın ilk gününden itibaren her gün bir önceki güne göre sabit sayıda sayfa fazla okuyarak bir aritmetik dizi oluşturmuştur. Öğrencinin bu kitaptan 4. gün ve 10. gün okuduğu toplam sayfa sayısı 2424'tür. Bu öğrenci ilk 8 günde toplam 7676 sayfa okuduğuna göre, kitabın ilk günü okuduğu sayfa sayısı aşağ��dakilerden hangisidir?

Show answer & explanation

Answer: 6

Answer

Kitabın ilk günü okunan sayfa sayısı 6'dır.
Doğru cevap olan 6 değeri, aritmetik dizinin genel terim ve ilk n terim toplam formüllerinin doğru bir şekilde kurulup iki bilinmeyenli denklem sisteminin çözülmesiyle elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Aritmetik dizinin genel terim formülünü (an=a1+(n−1)da_n = a_1 + (n-1)d) kullanarak 4. ve 10. terimleri a1a_1 (ilk terim) ve dd (ortak fark) cinsinden yazalım.
a4=a1+3da_4 = a_1 + 3d ve a10=a1+9da_{10} = a_1 + 9d olur. Buradan a4+a10=2a1+12d=24a_4 + a_{10} = 2a_1 + 12d = 24 ve sadeleştirildiğinde a1+6d=12a_1 + 6d = 12 denklemi elde edilir.
Verilen günlerdeki sayfa sayılarını dizinin ortak parametreleri cinsinden ifade etmek.
2
Aritmetik dizinin ilk nn terim toplamı formülünü (Sn=n2(2a1+(n−1)d)S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)) kullanarak ilk 8 günün toplamını yazalım.
S8=82(2a1+7d)=4(2a1+7d)=76  ⟹  2a1+7d=19S_8 = \frac{8}{2}(2a_1 + 7d) = 4(2a_1 + 7d) = 76 \implies 2a_1 + 7d = 19 denklemi elde edilir.
Toplam sayfa sayısı bilgisini a1a_1 ve dd parametrelerine bağlı ikinci bir denkleme dönüştürmek.
3
Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemini yok etme yöntemiyle çözelim.
Birinci denklem 22 ile çarpılırsa 2a1+12d=242a_1 + 12d = 24 olur. Bu denklemden 2a1+7d=192a_1 + 7d = 19 denklemi çıkarıldığında 5d=5  ⟹  d=15d = 5 \implies d = 1 bulunur. d=1d = 1 değeri a1+6d=12a_1 + 6d = 12 denkleminde yerine yazıldığında a1+6=12  ⟹  a1=6a_1 + 6 = 12 \implies a_1 = 6 elde edilir.
İlk gün okunan sayfa sayısı olan a1a_1 değerine ulaşmak.

Key Concept

Aritmetik dizinin genel terim ve ilk n terim toplamı formüllerinin gerçek hayat problemlerine uygulanması

Alternative Method

Aritmetik ortalama özelliğini kullanarak a4+a10=2a7=24  ⟹  a7=12a_4 + a_{10} = 2a_7 = 24 \implies a_7 = 12 doğrudan bulunabilir. İlk 8 terimin toplamı S8=4(a1+a8)=76  ⟹  a1+a8=19S_8 = 4(a_1 + a_8) = 76 \implies a_1 + a_8 = 19 olur. a8=a7+d=12+da_8 = a_7 + d = 12 + d olduğundan a1+d=7a_1 + d = 7 elde edilir. a7=a1+6d=12a_7 = a_1 + 6d = 12 denklemi ile ortak çözülerek a1=6a_1 = 6 değerine ulaşılır.
Estimated Time:2m 0s
Question 185Question →

Bir hasta, tedavisi için her günün başında vücuduna 64 mg64\text{ mg} etken madde içeren bir ilaç almaktadır. Vücuttaki bu etken maddenin her günün sonunda yarısı (%50\%50'si) parçalanarak vücuttan atılmaktadır.

Buna göre, hastanın 5. günün başında (5. dozu aldıktan hemen sonra) vücudunda bulunan toplam etken madde miktarı kaç miligramdır?

Show answer & explanation

Answer: 124

Answer

Hastanın 5. gün��n başında vücudunda biriken toplam etken madde miktarı 124 miligramdır.
Hastanın her gün aldığı doz ve vücutta kalan miktar geometrik bir dizi toplamı oluşturur. 5. günün başındaki toplam miktar, ilk terimi 6464 ve ortak çarpanı 12\frac{1}{2} olan geometrik dizinin ilk 5 teriminin toplamına eşit olup 124 mg124\text{ mg} olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
İlk günün başlangıcındaki ve sonundaki ilaç miktarlarını belirlemek.
1. günün başında vücutta 64 mg64\text{ mg} etken madde vardır ve günün sonunda bunun yarısı olan 32 mg32\text{ mg} kalır.
Dizinin başlangıç terimini ve bir sonraki güne devreden miktarı hesaplamak için gereklidir.
2
Günlük birikimleri ardışık olarak hesaplamak.
2. gün��n başında 64+32=96 mg64 + 32 = 96\text{ mg} olur ve günün sonunda yarısı (48 mg48\text{ mg}) kalır. 3. günün başında 64+48=112 mg64 + 48 = 112\text{ mg} olur ve günün sonunda yarısı (56 mg56\text{ mg}) kalır. 4. günün başında 64+56=120 mg64 + 56 = 120\text{ mg} olur ve günün sonunda yarısı (60 mg60\text{ mg}) kalır. 5. günün başında ise 64+60=124 mg64 + 60 = 124\text{ mg} olur.
Her gün başında yeni doz eklendiği ve her gün sonunda yarıya düştüğü için bu süreç tekrarlanır.
3
Geometrik seri toplamı formülüyle sonucu doğrulamak.
an=64⋅1−(1/2)n1−1/2a_n = 64 \cdot \frac{1 - (1/2)^n}{1 - 1/2} formülünde n=5n = 5 yazılarak a5=128⋅(1−1/32)=124 mga_5 = 128 \cdot (1 - 1/32) = 124\text{ mg} bulunur.
Sürecin geometrik bir seri toplamı olduğunu matematiksel olarak doğrulamak için kullanılır.

Key Concept

Geometrik Dizi ve Problemleri (Geometrik Seri Toplamı)
Estimated Time:2m 0s
Question 186Question →

Bir teknoloji firması, yeni geliştirdiği bir yapay zekâ modelinin işlem hızını her gün bir önceki güne göre belirli bir oranda artırmaktadır. Modelin nn. gündeki işlem hızı ana_n (GFLOPSGFLOPS cinsinden) dizisi ile modellenmiştir.

Bu dizinin ardışık terimleri arasında her n≥1n \ge 1 pozitif tam sayısı için,
log⁡2(an+1)−log⁡2(an)=1\log_2(a_{n+1}) - \log_2(a_n) = 1
bağıntısı bulunmaktadır.

Modelin 1. günkü işlem hızı 4 GFLOPS4\text{ GFLOPS} olduğuna göre, işlem hızının ilk kez 1024 GFLOPS1024\text{ GFLOPS} değerine ulaştığı gün bu sürecin kaçıncı gün��dür?

Show answer & explanation

Answer: 9

Answer

Modelin işlem hızının ilk kez 1024 GFLOPS1024\text{ GFLOPS} değerine ulaştığı gün geliştirme sürecinin 9. günüdür.
Logaritmik bağıntıdan dizinin ardışık terimlerinin oranı olan ortak çarpan r=2r = 2 olarak elde edilir. İlk terimi a1=4a_1 = 4 olan geometrik dizinin genel terimi an=2n+1a_n = 2^{n+1} şeklinde bulunur. Bu genel terim 10241024 değerine eşitlendiğinde 2n+1=2102^{n+1} = 2^{10} eşitliğinden n=9n = 9 bulunur. Dolayısıyla işlem hızının ilk kez 1024 GFLOPS1024\text{ GFLOPS} değerine ulaştığı gün sürecin 9. günüdür.

Step-by-Step Solution

1
Verilen logaritmik bağıntıyı düzenleyerek dizinin ardışık terimleri arasındaki oranı bulunuz.
log⁡2(an+1)−log⁡2(an)=1  ⟹  log⁡2(an+1an)=1  ⟹  an+1an=21=2\log_2(a_{n+1}) - \log_2(a_n) = 1 \implies \log_2\left(\frac{a_{n+1}}{a_n}\right) = 1 \implies \frac{a_{n+1}}{a_n} = 2^1 = 2
Logaritmanın çıkarma özelliği (log⁡b(x)−log⁡b(y)=log⁡b(x/y)\log_b(x) - \log_b(y) = \log_b(x/y)) kullanılarak ardışık terimlerin oranı elde edilir.
2
Dizinin türünü belirleyip genel terim formülünü yazınız.
Ardışık terimlerin oranı sabit ve 22 olduğundan, ana_n dizisi ortak çarpanı r=2r = 2 olan geometrik bir dizidir. Genel terimi: an=a1⋅rn−1=4⋅2n−1a_n = a_1 \cdot r^{n-1} = 4 \cdot 2^{n-1}
İlk terimi a1a_1 ve ortak çarpanı rr olan bir geometrik dizinin genel terimi an=a1⋅rn−1a_n = a_1 \cdot r^{n-1} formülüyle tanımlanır.
3
Genel terimi üslü sayı kuralları ile düzenleyip an=1024a_n = 1024 denklemini çözünüz.
an=22⋅2n−1=2n+1a_n = 2^2 \cdot 2^{n-1} = 2^{n+1}
2n+1=1024  ⟹  2n+1=210  ⟹  n+1=10  ⟹  n=92^{n+1} = 1024 \implies 2^{n+1} = 2^{10} \implies n + 1 = 10 \implies n = 9
İşlem hızının 1024 GFLOPS1024\text{ GFLOPS} değerine ulaştığı günü bulmak için genel terim bu değere eşitlenir.

Key Concept

Logaritma özellikleri yardımıyla geometrik dizinin ortak çarpanını belirleme ve geometrik dizi genel terimini gerçek hayat problemlerinde uygulama.
Question 187Question →

Bir kargo dağıtım merkezinde, açılışın yapıldığı birinci gün 120120 adet paket dağıtılmıştır. Bu merkezde dağıtılan günlük paket sayısı, her gün bir önceki güne göre sabit bir sayıda artarak bir aritmetik dizi oluşturmaktadır. Bu dağıtım merkezinde ilk 1010 günde dağıtılan toplam paket sayısı, ilk 66 günde dağıtılan toplam paket sayısının 22 katından 6060 fazladır. Buna göre, bu dağıtım merkezinde açılışın 1515. gününde kaç adet paket dağıtılmıştır?

Show answer & explanation

Answer: 400

Answer

Açılışın 15. gününde dağıtılan paket sayısı 400 adettir.
Aritmetik dizi toplam formülü Sn=n2[2a1+(n−1)d]S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)d] kullanılarak ilk 10 ve ilk 6 günün toplamları ortak fark olan dd cinsinden yazılır. Elde edilen ifadeler S10=2⋅S6+60S_{10} = 2 \cdot S_6 + 60 denkleminde yerine konulduğunda d=20d = 20 olarak bulunur. 15. gündeki paket sayısı olan a15a_{15} ise genel terim formülü a15=a1+14da_{15} = a_1 + 14d yardımıyla 120+14⋅20=400120 + 14 \cdot 20 = 400 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Aritmetik dizinin genel terim ve toplam formüllerini tanımlama
a1=120a_1 = 120 olup ilk nn terim toplamı Sn=n2[2a1+(n−1)d]S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)d] ve genel terim an=a1+(n−1)da_n = a_1 + (n-1)d şeklindedir.
Günlük artış miktarı sabit olduğundan süreç bir aritmetik dizi belirtir.
2
İlk 10 gün ve ilk 6 gün dağıtılan toplam paket sayılarını ortak fark cinsinden ifade etme
S10=1200+45dS_{10} = 1200 + 45d ve S6=720+15dS_6 = 720 + 15d
Soruda verilen toplam ilişkisini çözmek için bu ifadeleri ortak fark olan dd cinsinden yazmamız gerekir.
3
Verilen denklem yardımıyla ortak farkı hesaplama
1200+45d=2(720+15d)+60⇒15d=300⇒d=201200 + 45d = 2(720 + 15d) + 60 \Rightarrow 15d = 300 \Rightarrow d = 20
İlk 10 günde dağıtılan paket sayısının, ilk 6 gündekinin 2 katından 60 fazla olduğu bilgisi kullanılarak denklem çözülür.
4
Ortak fark ve ilk terim yardımıyla 15. gün değerini bulma
a15=120+14(20)=400a_{15} = 120 + 14(20) = 400
Aritmetik dizinin 15. terimi olan a15a_{15} değerini bulmak için genel terim formülü uygulanır.

Key Concept

Aritmetik dizilerde genel terim ve ilk n terim toplamı formüllerinin gerçek hayat problemlerine uygulanması.
Question 188Question →

Bir belediye, başlattığı çevre temizliği ve geri dönüşüm projesinin ilk ayında 160160 ton plastik atık toplamıştır. Proje kapsamında her ay toplanan plastik atık miktarı, bir önceki aya göre sabit bir oranda artmıştır.

Bu proje kapsamında ilk 33 ayda toplanan toplam plastik atık miktarı 760760 ton olduğuna göre, projenin 55. ayında toplanan plastik atık miktarı kaç tondur?

Show answer & explanation

Answer: 810

Answer

810 ton
Geri dönüşüm projesinde toplanan plastik atık miktarı geometrik bir dizi oluşturmaktadır. İlk ay toplanan miktar a1=160a_1 = 160 ve ilk üç ayda toplanan toplam miktar S3=a1(1+r+r2)=760S_3 = a_1(1 + r + r^2) = 760 olarak veriliyor. Buradan 1+r+r2=4,751 + r + r^2 = 4,75 elde edilir. Bu ikinci dereceden denklem çözüldüğünde, ortak çarpanın pozitif olması gerektiğinden (r>0r > 0) ortak çarpan r=1,5r = 1,5 bulunur. Projenin 5. ayında toplanan miktar ise a5=a1⋅r4=160⋅(1,5)4=810a_5 = a_1 \cdot r^4 = 160 \cdot (1,5)^4 = 810 ton olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
İlk ay toplanan atık miktarını ve ilk 3 ayın toplamını veren denklemi yazın.
a1=160a_1 = 160 ve S3=a1+a2+a3=760S_3 = a_1 + a_2 + a_3 = 760 ton
Toplanan atık miktarı geometrik dizi oluşturduğu için terimleri ortak çarpan rr cinsinden ifade etmeliyiz.
2
Ortak çarpan rr değerini bulmak için denklemi çözün.
160(1+r+r2)=760  ⟹  1+r+r2=4,75  ⟹  4r2+4r−15=0160(1 + r + r^2) = 760 \implies 1 + r + r^2 = 4,75 \implies 4r^2 + 4r - 15 = 0 denkleminden r=1,5r = 1,5 bulunur.
Atık miktarı sürekli arttığı için ortak çarpan pozitif (r>0r > 0) olmalıdır.
3
Projenin 5. ayında toplanan atık miktarını hesaplayın.
a5=a1⋅r4=160⋅(1,5)4=810a_5 = a_1 \cdot r^4 = 160 \cdot (1,5)^4 = 810 ton
Geometrik dizinin genel terim formülü an=a1⋅rn−1a_n = a_1 \cdot r^{n-1} olduğundan, 5. terim için n=5n=5 yazılır.

Key Concept

Geometrik dizilerin gerçek hayat problemlerine uygulanması ve geometrik dizi toplam formülü.
Question 189Question →
Genel terimi an=n2−3n−102n+1a_n = \frac{n^2 - 3n - 10}{2n + 1} olan gerçel sayı dizisinin, değeri 00 olan teriminin indisi kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 5

Answer

Değeri 0 olan terimin indisi 5'tir.
Dizinin genel terimini sıfır yapan denklem çözüldüğünde elde edilen köklerden pozitif tam sayı olan tek değer 5'tir.

Step-by-Step Solution

1
Dizinin genel terimini sıfıra eşitlemek
n2−3n−102n+1=0\frac{n^2 - 3n - 10}{2n + 1} = 0
Değeri 0 olan terimi bulmak için genel terim 0'a eşitlenir.
2
Elde edilen rasyonel denklemi çözmek
n2−3n−10=0⇒(n−5)(n+2)=0⇒n=5 veya n=−2n^2 - 3n - 10 = 0 \Rightarrow (n - 5)(n + 2) = 0 \Rightarrow n = 5 \text{ veya } n = -2
Bir rasyonel ifadenin sıfır olabilmesi için payının sıfır olması gerekir.
3
Bulunan köklerin dizi tanım kümesine uygunluğunu incelemek
n=5n = 5 değeri pozitif bir tam sayıdır (5∈Z+5 \in \mathbb{Z}^+), −2-2 değeri ise pozitif tam sayı değildir.
Dizilerin tanım kümesi pozitif tam sayılardır. Bu nedenle sadece pozitif tam sayı olan kök indis olarak kabul edilebilir.

Key Concept

Dizi tanım kümesi ve genel terim özellikleri
Question 190Question →

Bir (an)(a_n) pozitif terimli geometrik dizisi için,

a5⋅a11⋅a17=512a_5 \cdot a_{11} \cdot a_{17} = 512
a3+a19=56a_3 + a_{19} = 56

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, a7+a15a_7 + a_{15} toplamının değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 2424

Answer

Dizinin istenen terimlerinin toplamı 24 olur.
Dizinin geometrik dizi olmasından ötürü a5⋅a17=a112a_5 \cdot a_{17} = a_{11}^2 yazılabilir. Bu sayede a11=8a_{11} = 8 bulunur. Daha sonra terimler a11a_{11} ve ortak çarpan rr cinsinden yazılıp oranlanarak r8+1r8=7r^8 + \frac{1}{r^8} = 7 elde edilir. İstenen a7+a15a_7 + a_{15} toplamı 8(r4+1r4)8(r^4 + \frac{1}{r^4}) ifadesine eşittir. Tam kare özdeşliği yardımıyla (r4+1r4)2=r8+1r8+2=9(r^4 + \frac{1}{r^4})^2 = r^8 + \frac{1}{r^8} + 2 = 9 olduğundan r4+1r4=3r^4 + \frac{1}{r^4} = 3 bulunur. Buradan istenen toplam 8⋅3=248 \cdot 3 = 24 olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Dizinin a5⋅a11⋅a17=512a_5 \cdot a_{11} \cdot a_{17} = 512 eşitliğini geometrik dizi özelliklerini kullanarak düzenleyelim.
a11=8a_{11} = 8 olarak bulunur.
Geometrik dizide indisler toplamı eşit olan terimlerin çarpımları birbirine eşittir. 5+17=2⋅115 + 17 = 2 \cdot 11 olduğundan a5⋅a17=a112a_5 \cdot a_{17} = a_{11}^2 olur. Buradan a5⋅a11⋅a17=a113=512a_5 \cdot a_{11} \cdot a_{17} = a_{11}^3 = 512 elde edilir. Her iki tarafın küp kökü alınırsa, terimler pozitif olduğundan a11=8a_{11} = 8 bulunur.
2
Verilen ikinci eşitlik olan a3+a19=56a_3 + a_{19} = 56 ifadesini ortak çarpan rr ve a11a_{11} cinsinden yazalım.
r8+1r8=7r^8 + \frac{1}{r^8} = 7 elde edilir.
Geometrik dizinin genel terim özelliğinden a3=a11⋅r−8a_3 = a_{11} \cdot r^{-8} ve a19=a11⋅r8a_{19} = a_{11} \cdot r^8 yazılabilir. Bu ifadeler denklemde yerine yazılırsa: 8⋅r−8+8⋅r8=56  ⟹  8(r−8+r8)=56  ⟹  r8+1r8=78 \cdot r^{-8} + 8 \cdot r^8 = 56 \implies 8(r^{-8} + r^8) = 56 \implies r^8 + \frac{1}{r^8} = 7 bulunur.
3
İstenen a7+a15a_7 + a_{15} toplamını ortak çarpan rr ve a11a_{11} cinsinden ifade edelim.
a7+a15=8(r4+1r4)a_7 + a_{15} = 8(r^4 + \frac{1}{r^4}) olur.
Genel terim özelliğinden a7=a11⋅r−4a_7 = a_{11} \cdot r^{-4} ve a15=a11⋅r4a_{15} = a_{11} \cdot r^4 yazılır. Buradan a7+a15=8⋅r−4+8⋅r4=8(r4+1r4)a_7 + a_{15} = 8 \cdot r^{-4} + 8 \cdot r^4 = 8(r^4 + \frac{1}{r^4}) elde edilir.
4
r4+1r4r^4 + \frac{1}{r^4} ifadesinin değerini bulmak için tam kare özdeşliğini kullanalım.
r4+1r4=3r^4 + \frac{1}{r^4} = 3 olarak bulunur.
x=r4+1r4x = r^4 + \frac{1}{r^4} olsun. Her iki tarafın karesi alınırsa: x2=(r4+1r4)2=r8+2⋅r4⋅1r4+1r8=r8+1r8+2x^2 = (r^4 + \frac{1}{r^4})^2 = r^8 + 2 \cdot r^4 \cdot \frac{1}{r^4} + \frac{1}{r^8} = r^8 + \frac{1}{r^8} + 2 olur. r8+1r8=7r^8 + \frac{1}{r^8} = 7 değeri yerine yazılırsa: x2=7+2=9x^2 = 7 + 2 = 9 elde edilir. Dizi terimleri pozitif gerçek sayılar olduğundan r>0r > 0 ve dolayısıyla x>0x > 0 olmalıdır. Buradan x=3x = 3 bulunur.
5
Bulduğumuz x=3x = 3 değerini a7+a15a_7 + a_{15} ifadesinde yerine yazarak sonucu bulalım.
a7+a15=24a_7 + a_{15} = 24 olarak bulunur.
a7+a15=8(r4+1r4)=8⋅3=24a_7 + a_{15} = 8(r^4 + \frac{1}{r^4}) = 8 \cdot 3 = 24 elde edilir.

Key Concept

Bir geometrik dizide terimlerin indisleri arasındaki simetri özellikleri ve terimlerin ortak çarpan cinsinden kuvvet ilişkileri.

Alternative Method

Geometrik dizide a3⋅a19=a7⋅a15=a112=64a_3 \cdot a_{19} = a_7 \cdot a_{15} = a_{11}^2 = 64 olduğu görülebilir. Buradan a7+a15a_7 + a_{15} toplamına SS dersek, a7a_7 ve a15a_{15} terimleri çarpımı 64 olan iki sayıdır. Diğer taraftan, a3+a19=56a_3 + a_{19} = 56 ve a3⋅a19=64a_3 \cdot a_{19} = 64 olduğundan bu terimlerin ortak çarpan kuvvetleri üzerinden S2=(a7+a15)2=a72+a152+2a7a15=a3a11+a11a19+2(64)=a11(a3+a19)+128=8(56)+128=448+128=576S^2 = (a_7+a_{15})^2 = a_7^2 + a_{15}^2 + 2a_7a_{15} = a_3 a_{11} + a_{11} a_{19} + 2(64) = a_{11}(a_3 + a_{19}) + 128 = 8(56) + 128 = 448 + 128 = 576 elde edilir. Terimler pozitif olduğundan S=576=24S = \sqrt{576} = 24 bulunur.
Estimated Time:3m 0s
Question 191Question →
Bir (an)(a_n) geometrik dizisinin terimleri arasında
a8⋅a12a7⋅a10=8\frac{a_8 \cdot a_{12}}{a_7 \cdot a_{10}} = 8
ve
a5−a2=14a_5 - a_2 = 14
eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, bu dizinin ilk terimi kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 1

Answer

Bu geometrik dizinin ilk terimi 1'dir.
Dizinin genel terim formülünden yola çıkarak birinci eşitliği sadeleştirdiğimizde r3=8r^3 = 8 ve dolayısıyla ortak çarpan r=2r = 2 bulunur. İkinci eşitlikte terimleri a1a_1 ve rr cinsinden yazıp ortak paranteze aldığımızda a1(r4−r)=14a_1(r^4 - r) = 14 denklemini elde ederiz. Burada r=2r = 2 değerini yerine yazdığımızda 14a1=1414a_1 = 14 eşitliğinden dizinin ilk terimi olan a1=1a_1 = 1 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
İlk eşitlikteki terimlerin yerine genel terim formülünü yazıp sadeleştirmek
r3=8  ⟹  r=2r^3 = 8 \implies r = 2 bulunur.
Geometrik dizide her terim an=a1⋅rn−1a_n = a_1 \cdot r^{n-1} şeklinde ifade edilebilir. Bu ifadeler oranda yerine koyulursa a1r7⋅a1r11a1r6⋅a1r9=a12r18a12r15=r3\frac{a_1 r^7 \cdot a_1 r^{11}}{a_1 r^6 \cdot a_1 r^9} = \frac{a_1^2 r^{18}}{a_1^2 r^{15}} = r^3 olur. r3=8r^3 = 8 olduğundan r=2r = 2 bulunur.
2
Bulunan r=2r = 2 ortak çarpanını ikinci denklemde yerine yazarak a1a_1 değerini hesaplamak
14a1=14  ⟹  a1=114 a_1 = 14 \implies a_1 = 1 bulunur.
a5−a2=14  ⟹  a1r4−a1r=14  ⟹  a1(24−2)=14  ⟹  a1(16−2)=14a_5 - a_2 = 14 \implies a_1 r^4 - a_1 r = 14 \implies a_1(2^4 - 2) = 14 \implies a_1(16 - 2) = 14 elde edilir.

Key Concept

Geometrik dizide genel terim formülü ve terimler arası bölme ile ortak çarpan elde etme
Question 192Question →

Aşağıdaki ifadede boş bırakılan yerleri uygun sayılarla doldurunuz.

Fill in the blanks below

Terimleri pozitif gerçel sayılardan oluşan bir (an)(a_n) geometrik dizisinde,
a2⋅a6=64a_2 \cdot a_6 = 64
a3⋅a4=32a_3 \cdot a_4 = 32
eşitlikleri sağlanmaktad��r. Buna göre, bu geometrik dizinin ortak çarpanı ve ilk terimi olarak bulunur.
Show answer & explanation

Answer

Dizinin ortak çarpanı 2 ve ilk terimi 1'dir.
Dizinin terimleri pozitif olduğundan a2⋅a6=a42=64a_2 \cdot a_6 = a_4^2 = 64 bağıntısından a4=8a_4 = 8 bulunur. a3⋅a4=32a_3 \cdot a_4 = 32 eşitliğinde bu değer yerine yazıldığında a3=4a_3 = 4 elde edilir. Ortak çarpan ardışık terimlerin oranı olan r=8/4=2r = 8 / 4 = 2 değerine eşit olup, a1=a3/r2=4/4=1a_1 = a_3 / r^2 = 4 / 4 = 1 ilk terimine ulaşılmasını sağlar.

Step-by-Step Solution

1
Geometrik dizinin indisler arasındaki çarpım özelliğini kullanarak dördüncü terimi bulun.
Bir geometrik dizide a2⋅a6=a42a_2 \cdot a_6 = a_4^2 bağıntısı geçerlidir. Buradan a42=64a_4^2 = 64 elde edilir. Tüm terimler pozitif gerçel sayı olduğundan a4=8a_4 = 8 olarak bulunur.
Geometrik dizide, indisleri toplamı eşit olan terimlerin çarpımları birbirine eşittir (2+6=4+42 + 6 = 4 + 4).
2
Bulunan dördüncü terim yardımıyla üçüncü terimi hesaplayın.
a3⋅a4=32  ⟹  a3⋅8=32  ⟹  a3=4a_3 \cdot a_4 = 32 \implies a_3 \cdot 8 = 32 \implies a_3 = 4 elde edilir.
Soruda verilen ikinci eşitlikte bilinen a4a_4 değeri yerine yazılmıştır.
3
Ardışık terimlerin oranından ortak çarpanı ve ardından ilk terimi bulun.
Ortak çarpan r=a4a3=84=2r = \frac{a_4}{a_3} = \frac{8}{4} = 2 olur. İlk terim ise a3=a1⋅r2  ⟹  4=a1⋅22  ⟹  4=4a1  ⟹  a1=1a_3 = a_1 \cdot r^2 \implies 4 = a_1 \cdot 2^2 \implies 4 = 4a_1 \implies a_1 = 1 olarak hesaplanır.
Geometrik dizinin genel terim tanımı ve ardışık terimler arası oran bağıntısı kullanılmıştır.

Key Concept

Geometrik dizide terimler arası çarpım ve ortak çarpan bağıntıları
PreviousPage 10 / 10
Diziler Practice Questions — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Page 10 | Examkin