Examkin

Question

Difficulty: MediumDizilerin Uygulamaları ve Problemler

Bir çevre koruma derneği, bir bölgeyi ağaçlandırmak amacıyla bir kampanya başlatmıştır. Kampanyanın ilk ayında sahaya 2020 adet fidan dikilmiştir. Dernek, her sonraki ay dikilen fidan sayısını bir önceki aya göre sabit bir miktarda artırmayı hedeflemektedir. Kampanya planına göre, 1010. ayda dikilen fidan sayısı ile ilk ay dikilen fidan sayısının toplamı 130130'dur. Buna göre, bu kampanyanın ilk 1515 ayında dikilen toplam fidan sayısı kaçtır?

  1. A
    160
  2. B
    1245
  3. C
    1425
  4. 1350Answer
  5. E
    2700

Answer

İlk 15 ayda dikilen toplam fidan sayısı 1350'dir.
Kampanyanın ilk ayındaki fidan sayısı a1=20a_1 = 20 olarak verilmiştir. Her ay dikilen fidan sayısı sabit bir ortak farkla (dd) arttığı için bu durum bir aritmetik dizi belirtir. 1010. aydaki fidan sayısı a10=a1+9da_{10} = a_1 + 9d olur. Soruda verilen a10+a1=130a_{10} + a_1 = 130 eşitliği kullanılarak 20+9d+20=130  ⟹  9d=90  ⟹  d=1020 + 9d + 20 = 130 \implies 9d = 90 \implies d = 10 elde edilir. İlk 1515 ayda dikilen toplam fidan sayısı S15=152(2a1+14d)S_{15} = \frac{15}{2}(2a_1 + 14d) formülüyle hesaplanır. Değerler yerine konulduğunda S15=152(40+140)=15×90=1350S_{15} = \frac{15}{2}(40 + 140) = 15 \times 90 = 1350 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Problemdeki verileri aritmetik dizi terimleri cinsinden ifade etme.
a1=20a_1 = 20 ve a10+a1=130a_{10} + a_1 = 130 olarak yazılır.
Soruda fidan sayısının her ay sabit bir miktarda arttığı belirtildiği için bu artış bir aritmetik dizi oluşturur.
2
Dizinin ortak farkını (dd) bulma.
a10=a1+9da_{10} = a_1 + 9d yazılır. Buradan (a1+9d)+a1=130  ⟹  2a1+9d=130(a_1 + 9d) + a_1 = 130 \implies 2a_1 + 9d = 130 elde edilir. a1=20a_1 = 20 değeri yerine yazıldığında: 2(20)+9d=130  ⟹  40+9d=130  ⟹  9d=90  ⟹  d=102(20) + 9d = 130 \implies 40 + 9d = 130 \implies 9d = 90 \implies d = 10 bulunur.
Toplam fidan sayısını hesaplayabilmek için dizinin ortak farkını (aylık artış miktarını) bulmamız gerekir.
3
İlk 15 ayda dikilen toplam fidan sayısını (S15S_{15}) hesaplama.
S15=152⋅[2a1+14d]S_{15} = \frac{15}{2} \cdot [2a_1 + 14d] formülü kullanılır. Değerler yerine yazıldığında: S15=152⋅[2(20)+14(10)]=152⋅[40+140]=152⋅180=15⋅90=1350S_{15} = \frac{15}{2} \cdot [2(20) + 14(10)] = \frac{15}{2} \cdot [40 + 140] = \frac{15}{2} \cdot 180 = 15 \cdot 90 = 1350 bulunur.
Aritmetik dizide ilk nn terim toplamı formülü Sn=n2[2a1+(n−1)d]S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)d] olduğu için ilk 15 ayın toplamı bu formülle elde edilir.

Key Concept

Aritmetik dizilerde genel terim ve ilk n terim toplamı formüllerinin gerçek hayat problemlerine uygulanması.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Dizilerin Uygulamaları ve Problemler

More questions from this topic