Sinüs Teoremi Practice Questions — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Page 2

Bir $ABC$ üçgeninde $m(\widehat{C}) > 90^\circ$ olup bu üçgenin çevrel çemberinin yarıçapı $R$ birimdir.

Üçgenin alanı ile çevrel çemberinin yarıçapı arasında,

\text{Alan}(ABC) = R^2 \cdot \sin A \cdot \sin B

bağıntısı sağlandığına g��re,

C

açısının ölçüsü kaç derecedir?

30

90

150

120

135

Show answer & explanation

Answer: 150

Answer

150

Üçgenin alan formülünde Sinüs Teoremi kullanılarak elde edilen kenar uzunlukları yerine yazıldığında

\text{Alan}(ABC) = 2R^2 \sin A \sin B \sin C

eşitliğine ulaşılır. Bu genel bağıntı soruda verilen

R^2 \sin A \sin B

ifadesine eşitlendiğinde

\sin C = \frac{1}{2}

elde edilir.

m(\widehat{C}) > 90^\circ

koşulunu sağlayan tek açı

150^\circ

olduğundan doğru cevap bu değeri içeren seçenektir.

Step-by-Step Solution

1

Üçgenin alan formülünü ve Sinüs Teoremi bağıntılarını yazalım.

Alan formülü:

\text{Alan}(ABC) = \frac{1}{2} a b \sin C

. Sinüs Teoremi'ne göre:

a = 2R \sin A

ve

b = 2R \sin B

.

Kenar uzunluklarını çevrel çemberin yarıçapı ve açılar cinsinden ifade etmek için.

2

Sinüs Teoremi'nden elde ettiğimiz kenar uzunluğu ifadelerini alan formülünde yerine koyalım.

\text{Alan}(ABC) = \frac{1}{2} (2R \sin A) (2R \sin B) \sin C = 2 R^2 \sin A \sin B \sin C

Alan formülünü

R

ve açıların sinüsleri cinsinden tek bir eşitlikte birleştirmek için.

3

Elde ettiğimiz genel alan bağıntısını, soruda verilen alan bağıntısıyla eşitleyelim.

2 R^2 \sin A \sin B \sin C = R^2 \sin A \sin B \implies 2 \sin C = 1 \implies \sin C = \frac{1}{2}

C

açısının sinüs değerini belirlemek için.

4

\sin C = \frac{1}{2}

denklemini

m(\widehat{C}) > 90^\circ

koşulunu göz önünde bulundurarak çözelim.

Sinüsü

\frac{1}{2}

olan açılar

30^\circ

ve

180^​​^\circ - 30^\circ = 150^\circ

derecedir. Soruda

m(\widehat{C}) > 90^\circ

(geniş açı) olduğu belirtildiğinden

C = 150^\circ

olmalıdır.

Geniş açılı üçgen tanımına uyan açıyı bulmak için.

Key Concept

Sinüs Teoremi ve Üçgende Alan İlişkisi

Estimated Time:2m 0s

Question 22Question →

Bir

ABC

üçgeninde

a

,

b

ve

c

sırasıyla

A

,

B

ve

C

açılarının karşılarındaki kenar uzunluklarıdır.
Bu üçgende,

b \cdot \cos C + c \cdot \cos B = 6\sqrt{3}

bağıntısı sağlanmaktadır.
Üçgenin çevrel çemberinin yarıçapı

6

birim olduğuna göre,

A

dar açısının ölçüsü kaç derecedir?

Show answer & explanation

Answer: 60

Answer

A dar açısının ölçüsü 60 derecedir.

Üçgende kenarlar arasındaki projeksiyon bağıntısı gereği

b \cos C + c \cos B = a

eşitliği yazılabilir. Buradan

a = 6\sqrt{3}

birim elde edilir. Sinüs teoremine göre

\frac{a}{\sin A} = 2R

olduğundan, yarıçap

R = 6

için

\frac{6\sqrt{3}}{\sin A} = 12

eşitliği kurulur. Buradan

\sin A = \frac{\sqrt{3}}{2}

elde edilir.

A

açısı dar açı olarak belirtildiği için ölçüsü 60 derecedir.

Step-by-Step Solution

1

Projeksiyon formülünü kullanarak a kenar uzunluğunu belirleyin.

a = 6\sqrt{3}

Bir üçgende herhangi bir kenar uzunluğu, diğer iki kenarın komşu açılarla olan kosinüs bileşenlerinin toplamına eşittir (

a = b \cos C + c \cos B

).

2

Sinüs teoreminde bilinen değerleri yerine yazarak sin A değerini elde edin.

\sin A = \frac{\sqrt{3}}{2}

Sinüs teoremine göre bir üçgenin kenar uzunluğu, o kenarın karşısındaki açının sinüs değerine bölündüğünde çevrel çemberin çapına (

2R

) eşit olur.

3

Sinüs değeri

\frac{\sqrt{3}}{2}

olan dar açının ölçüsün�� derece cinsinden bulun.

A = 60^\circ

0^\circ < A < 90^\circ

aralığında sinüsü

\frac{\sqrt{3}}{2}

olan açı 60 derecedir.

Key Concept

Sinüs Teoremi ve Kenar Projeksiyon Bağıntıları

Question 23Question →

Bir $ABC$ üçgeninde $D \in [BC]$ olacak şekilde bir $D$ noktası alınıyor.

3|BD| = 2|DC|

m(\widehat{BAD}) = 30^\circ

m(\widehat{DAC}) = 45^\circ

olduğuna göre, $\frac{|AB|}{|AC|}$ oranı kaçtır?

\frac{\sqrt{2}}{3}

\frac{2\sqrt{2}}{3}

\frac{3\sqrt{2}}{4}

\sqrt{2}

\frac{3\sqrt{2}}{2}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{2\sqrt{2}}{3}$

Answer

\frac{2\sqrt{2}}{3}

Ortak kenara ve bütünler açılara sahip iki üçgende Sinüs Teoremi uygulandığında, kenarların oranı taban parçalarının oranı ile açıların sinüs değerlerinin oranının çarpımına eşittir. Verilen oranlar yerine yazıldığında sonuç

\frac{2\sqrt{2}}{3}

olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Komşu iki üçgende Sinüs Teoremi bağıntılarını yazma

ABD

üçgeninde:

\frac{|AB|}{\sin(\widehat{ADB})} = \frac{|BD|}{\sin 30^\circ} \implies \sin(\widehat{ADB}) = \frac{|AB| \cdot \sin 30^\circ}{|BD|}

ADC

üçgeninde:

\frac{|AC|}{\sin(\widehat{ADC})} = \frac{|DC|}{\sin 45^\circ} \implies \sin(\widehat{ADC}) = \frac{|AC| \cdot \sin 45^\circ}{|DC|}

Her iki üçgenin ortak olan kenarı ve bütünler açılarından yararlanmak için Sinüs Teoremi uygulanır.

2

Bütünler açıların sinüs eşitliğini kullanarak bağıntıları birleştirme

\widehat{ADB} + \widehat{ADC} = 180^\circ

olduğundan

\sin(\widehat{ADB}) = \sin(\widehat{ADC})

olur. Buradan:

\frac{|AB| \cdot \sin 30^\circ}{|BD|} = \frac{|AC| \cdot \sin 45^\circ}{|DC|}

\frac{|AB|}{|AC|} = \frac{|BD|}{|DC|} \cdot \frac{\sin 45^\circ}{\sin 30^\circ}

Birbirini

180^\circ

ye tamamlayan açıların sinüs değerleri eşittir.

3

Verilen oranları ve trigonometrik değerleri yerine yazarak sonucu bulma

3|BD| = 2|DC| \implies \frac{|BD|}{|DC|} = \frac{2}{3}

değerini ve

\sin 30^\circ = \frac{1}{2}

,

\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}

değerlerini denklemde yerine koyalım:

\frac{|AB|}{|AC|} = \frac{2}{3} \cdot \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}

Soruda verilen sayısal veriler ve standart açıların sinüs değerleri oranlanarak nihai sonuca ulaşılır.

Key Concept

Ortak kenara sahip komşu üçgenlerde Sinüs Teoremi uygulamaları

Question 24Question →

Bir $ABC$ üçgeninin kenar uzunlukları $a$ ve $b$ birim, bu kenarların karşılarındaki açılar sırasıyla $A$ ve $B$ , üçgenin çevrel çemberinin yarıçapı ise $R$ birimdir.

Bu üçgende,

a^2 - b^2 = 12

\sin^2 A - \sin^2 B = \frac{3}{16}

olduğuna göre, çevrel çemberin yarıçapı $R$ kaç birimdir?

Show answer & explanation

Answer: 4

Answer

çevrel çemberin yarıçapı 4 birimdir.

Çevrel çemberin yarıçapı 4 birimdir. Çünkü Sinüs Teoremi kullanılarak elde edilen karesel ilişkide kenarların kareleri farkı ile sinüslerin kareleri farkı oranlandığında yarıçapın karesi elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Sinüs teoremini kullanarak kenar uzunlukları ile açıların sinüs değerleri arasındaki ilişkiyi yazalım.

a = 2R \sin A

ve

b = 2R \sin B

Sinüs teoremine göre bir üçgende her kenar uzunluğu, karşı açısının sinüs değeri ve çevrel çemberin çapı (

2R

) ile orantılıdir.

2

Elde ettiğimiz eşitlikleri

\sin A

ve

\sin B

ifadelerini yalnız bırakacak şekilde düzenleyelim.

\sin A = \frac{a}{2R}

ve

\sin B = \frac{b}{2R}

Soruda verilen sinüslü ifadelerin yerine kenar uzunluklarını yazabilmek için.

3

Bulduğumuz ifadelerin karesini alarak

\sin^2 A - \sin^2 B

denkleminde yerine yazalım.

\sin^2 A - \sin^2 B = \frac{a^2}{4R^2} - \frac{b^2}{4R^2} = \frac{a^2 - b^2}{4R^2} = \frac{3}{16}

Verilen iki denklem arasında ilişki kurarak

R

değerini bulabilmek için.

4

a^2 - b^2 = 12

bilgisini denklemde yerine koyup

R

değerini hesaplayalım.

\frac{12}{4R^2} = \frac{3}{16} \implies \frac{3}{R^2} = \frac{3}{16} \implies R^2 = 16 \implies R = 4

Bilinmeyen

R

değerini yalnız bırakıp çözüme ulaşmak için.

Key Concept

Sinüs teoremi gereğince, bir üçgenin kenar uzunluklarının karşılarındaki açıların sinüslerine oranı sabittir ve bu oran çevrel çemberin çapına (

2R

) eşittir.

Estimated Time:2m 0s

Question 25Question →

Bir çemberin üzerine sırasıyla $A$ , $B$ , $C$ ve $D$ noktaları işaretlenerek bir $ABCD$ kirişler dörtgeni oluşturuluyor. Bu dörtgende,
* $|AB| = 6\text{ cm}$
* $|CD| = 8\text{ cm}$
* $m(\widehat{ACB}) = \alpha$
* $m(\widehat{CAD}) = \beta$

$\alpha + \beta = 90^\circ$ olduğuna göre, bu çemberin yarıçapı kaç cm'dir?

10

7

5

\frac{12}{5}

\frac{5}{2}

Show answer & explanation

Answer: $5$

Answer

Çemberin yar��çapı

5

cm'dir.

Çember üzerine çizilen kirişler dörtgeninde

ABC

ve

ACD

üçgenlerinin çevrel çemberi aynı çemberdir. Sinüs Teoremi yardımıyla

\sin \alpha = \frac{3}{R}

ve

\sin \beta = \frac{4}{R}

bağıntıları kurulur.

\alpha + \beta = 90^\circ

olduğundan

\sin \beta = \cos \alpha = \frac{4}{R}

yazılabilir.

\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1

temel özdeşliği kullanıldığında

\frac{9}{R^2} + \frac{16}{R^2} = 1 \implies R = 5

elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Çemberin yarıçapını

R

kabul ederek,

ABC

ve

ACD

üçgenlerinde Sinüs Teoremi'ni uygulayalım.

ABC

��çgeninde

AB

kenarı için:

\frac{|AB|}{\sin \alpha} = 2R \implies \sin \alpha = \frac{6}{2R} = \frac{3}{R}

ACD

üçgeninde

CD

kenarı için:

\frac{|CD|}{\sin \beta} = 2R \implies \sin \beta = \frac{8}{2R} = \frac{4}{R}

elde edilir.

Sinüs Teoremi gereği, bir üçgenin kenar uzunluğunun karşı açısının sinüsüne oranı, o üçgenin çevrel çemberinin çapına (

2R

) eşittir.

2

\alpha + \beta = 90^\circ

bilgisini kullanarak

\sin \beta

ifadesini

\alpha

açısının kosinüsü cinsinden yazalım.

\sin \beta = \sin(90^\circ - \alpha) = \cos \alpha

olur. Buradan

\cos \alpha = \frac{4}{R}

elde edilir.

Toplamları

90^\circ

olan iki açıdan birinin sinüsü, diğerinin kosinüsüne eşittir.

3

\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1

temel trigonometrik özdeşliğini uygulayarak

R

değerini bulalım.

\left(\frac{3}{R}\right)^2 + \left(\frac{4}{R}\right)^2 = 1 \implies \frac{9}{R^2} + \frac{16}{R^2} = 1 \implies \frac{25}{R^2} = 1 \implies R^2 = 25 \implies R = 5

cm bulunur.

Aynı açının sinüs ve kosinüs değerlerinin kareleri toplamı daima 1'e eşittir.

Key Concept

Sinüs Teoremi ve Çevrel Çember İlişkisi

Question 26Question →

Bir $ABC$ üçgeninin kenar uzunlukları sırasıyla $a$ , $b$ ve $c$ birim, bu kenarların karşılarındaki açılarının ölçüleri ise sırasıyla $A$ , $B$ ve $C$ 'dir. Bu üçgenin çevrel çemberinin yarıçapı $R$ birim olmak üzere,

\frac{a + b}{\sin A + \sin B} = R^2 - 3

eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, bu üçgenin çevrel çemberinin alanı kaç $\pi$ birimkaredir?

Show answer & explanation

Answer: 9

Answer

Çevrel çemberin alanı

9\pi

birimkaredir, dolayısıyla aranan değer 9'dur.

Sinüs Teoremi gereği

\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = 2R

eşitliği mevcuttur. Orantı özelliklerine göre payların toplamının paydaların toplamına oranı da bu sabit orana (

2R

) eşit olacaktır. Buradan denklem

2R = R^2 - 3

biçimine dönüşür. İkinci dereceden denklemin pozitif kökü

R = 3

olarak elde edilir. Çevrel çemberin alanı

\pi R^2

formülünden

9\pi

bulunur, bu nedenle cevap 9'dur.

Step-by-Step Solution

1

Sinüs Teoremi bağıntılarını ifade etmek

\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = 2R

Üçgenin kenar uzunlukları ile karşılarındaki açıların sinüsleri ve çevrel çemberin yarıçapı arasındaki temel ilişkiyi kurmak.

2

Orantı toplama özelliğini uygulamak

\frac{a + b}{\sin A + \sin B} = 2R

Verilen denklemdeki pay ve payda toplamını içeren kesirli ifadeyi tek bir terime indirgemek.

3

Elde edilen terimi denklemde yerine yazarak çözmek

2R = R^2 - 3 \implies R^2 - 2R - 3 = 0 \implies (R - 3)(R + 1) = 0 \implies R = 3

Çevrel çemberin yarıçapını bulmak (yarıçap uzunluğu negatif olamayacağı için pozitif kök olan 3 alınır).

4

Dairenin alan formülünü uygulamak

Alan =

\pi R^2 = \pi \cdot 3^2 = 9\pi

Çevrel ��emberin alanını hesaplayarak soruda istenen katsayıyı bulmak.

Key Concept

Sinüs Teoremi oranının çevrel çemberin çapına eşit olması ve orantı özelliklerinin uygulanması.

Question 27Question →

Ortak $[AC]$ kenarına sahip olan $ABC$ ve $ACD$ üçgenlerinde;
* $|AB| = |AD| = 6\text{ birim}$ ,
* $m(\widehat{ACB}) = 30^\circ$ ,
* $m(\widehat{ACD}) = 45^\circ$ ,
* $m(\widehat{ABC}) = \alpha$ ve
* $m(\widehat{ADC}) = 90^\circ + \alpha$
olarak veriliyor.

Buna göre, $\cot \alpha$ değeri kaçtır?

\sqrt{2}

\frac{\sqrt{2}}{2}

-\sqrt{2}

-\frac{\sqrt{2}}{2}

\frac{\sqrt{6}}{3}

Show answer & explanation

Answer: $\sqrt{2}$

Answer

\sqrt{2}

olan seçenektir.

Sinüs Teoremi adımları doğru takip edilerek ortak olan

[AC]

kenarı her iki üçgen için ayrı ayrı ifade edilmiş ve ikinci bölgede sinüsün işareti pozitif (+) olduğu için

\sin(90^\circ + \alpha) = \cos \alpha

indirgemesi kullanılarak

\cot \alpha = \sqrt{2}

değeri elde edilmiştir.

Step-by-Step Solution

1

ABC

üçgeninde Sinüs Teoremi uygulanır.

\frac{|AC|}{\sin \alpha} = \frac{|AB|}{\sin 30^\circ} \implies \frac{|AC|}{\sin \alpha} = \frac{6}{1/2} = 12 \implies |AC| = 12 \sin \alpha

Ortak kenar olan

|AC|

uzunluğunu

\sin \alpha

cinsinden ifade etmek amacıyla bu adım gerçekleştirilir.

2

ACD

üçgeninde Sinüs Teoremi uygulanır.

\frac{|AC|}{\sin(90^\circ + \alpha)} = \frac{|AD|}{\sin 45^\circ} \implies \frac{|AC|}{\sin(90^\circ + \alpha)} = \frac{6}{\sqrt{2}/2} = 6\sqrt{2} \implies |AC| = 6\sqrt{2} \sin(90^\circ + \alpha)

Ortak kenar olan

|AC|

uzunluğunu ikinci üçgendeki açılar cinsinden ifade etmek amacıyla bu adım gerçekleştirilir.

3

Trigonometrik indirgeme formülü kullanılarak ikinci adımdaki ifade sadeleştirilir.

\sin(90^\circ + \alpha) = \cos \alpha

olduğundan,

|AC| = 6\sqrt{2} \cos \alpha

elde edilir.

İkinci bölgedeki sinüs değerinin pozitif olduğu bilgisi kullanılarak ifade sadeleştirilir.

4

Her iki üçgenden elde edilen

|AC|

ifadeleri birbirine eşitlenerek

\cot \alpha

hesaplanır.

12 \sin \alpha = 6\sqrt{2} \cos \alpha \implies \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{12}{6\sqrt{2}} \implies \cot \alpha = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}

Aynı ortak kenara ait iki farklı ifadenin eşitliğinden yararlanılarak trigonometrik oran elde edilir.

Key Concept

Sinüs Teoremi ve trigonometrik indirgeme formüllerinin birlikte uygulanması.

Estimated Time:2m 0s

Question 28Question →

Bir $ABC$ üçgeninde $D$ noktası $[BC]$ kenarı üzerindedir.

$m(\widehat{BAD}) = 30^\circ$ ,
$m(\widehat{DAC}) = 90^\circ$ ve
$|CD| = 4|BD|$

olduğuna göre, $\frac{\sin(\widehat{ABC})}{\sin(\widehat{ACB})}$ oranı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 2

Answer

İstenen oran 2'dir.

ABD

üçgeninde Sinüs Teoremi uygulandığında

|AD| = 2|BD|\sin(\widehat{ABC})

elde edilir.

ADC

dik üçgeninde sinüs tanımından

|AD| = |CD|\sin(\widehat{ACB})

bulunur. Bu iki eşitlik birleştirilip

|CD| = 4|BD|

yazıldığında

2|BD|\sin(\widehat{ABC}) = 4|BD|\sin(\widehat{ACB})

olur. Buradan sadeleştirmeler yapıldığında oran 2 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

ABD

üçgeninde Sinüs Teoremi'ni uygulamak

|AD| = 2|BD|\sin(\widehat{ABC})

AD

ortak kenarını

BD

ve

B

açısı cinsinden ifade etmek için

2

ADC

dik üçgeninde sinüs oranını yazmak

|AD| = |CD|\sin(\widehat{ACB})

AD

ortak kenarını

CD

ve

C

açısı cinsinden ifade etmek için

3

İki üçgenden elde edilen

AD

uzunluklarını eşitlemek ve verilen oranı yerine yazmak

2|BD|\sin(\widehat{ABC}) = 4|BD|\sin(\widehat{ACB})

BD

ve

CD

arasındaki ilişkiyi kullanarak denklemdeki değişken sayısını azaltmak için

4

|BD|

terimlerini sadeleştirip istenen oranı bulmak

\frac{\sin(\widehat{ABC})}{\sin(\widehat{ACB})} = 2

İstenen trigonometrik oranı yalnız bırakmak için

Key Concept

Sinüs Teoremi ve dik üçgende trigonometrik oranların geometrik uygulamaları

Sinüs Teoremi

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes