Examkin

Question

Difficulty: MediumBinom Açılımı
nn bir doğal sayı olmak üzere,
(2x3−yx)n\left(2x^3 - \frac{y}{x}\right)^n
ifadesinin açılımındaki terim sayısı 99 dur.

Buna göre, bu açılımdaki x12y3x^{12}y^3 lü terimin katsayısı kaçtır?

  1. −1792-1792Answer
  2. B
    17921792
  3. C
    −5376-5376
  4. D
    −10752-10752
  5. E
    −896-896

Answer

Açılımdaki terimin katsayısı −1792-1792 değeridir.
Açılımda terim sayısı 9 olduğundan binom üssü n=8n=8 olarak belirlenir. x12y3x^{12}y^3 lü terimin katsayısını bulmak için genel terim formülünde r=3r=3 yazılır. Buradan (83)⋅25⋅(−1)3=−1792\binom{8}{3} \cdot 2^5 \cdot (-1)^3 = -1792 elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Açılımın terim sayısından hareketle nn değerini bulunuz.
n=8n = 8
(A+B)n(A+B)^n açılımında n+1n+1 adet terim bulunur. Terim sayısı 99 olduğuna göre, n+1=9⇒n=8n+1 = 9 \Rightarrow n = 8 olur.
2
n=8n = 8 için genel terim formülünü yazınız ve istenen terimi belirleyiniz.
r=3r = 3 ve genel terim (8r)⋅(2x3)8−r⋅(−yx)r\binom{8}{r} \cdot (2x^3)^{8-r} \cdot \left(-\frac{y}{x}\right)^r
Genel terim (8r)⋅28−r⋅(−1)r⋅x24−4r⋅yr\binom{8}{r} \cdot 2^{8-r} \cdot (-1)^r \cdot x^{24-4r} \cdot y^r şeklindedir. x12y3x^{12}y^3 lü terim için yy'nin üssü r=3r = 3 olmalıdır. Bu durumda xx'in üssü de 24−4(3)=1224-4(3) = 12 olur ve koşul sağlanır.
3
Belirlenen r=3r = 3 değeri için terimin katsayısını hesaplayınız.
Katsayı = −1792-1792
Katsayı (83)⋅25⋅(−1)3=56⋅32⋅(−1)=−1792\binom{8}{3} \cdot 2^5 \cdot (-1)^3 = 56 \cdot 32 \cdot (-1) = -1792 olarak bulunur.

Key Concept

Binom açılımında (x+y)n(x+y)^n ifadesinin açılımındaki terim sayısı n+1n+1 olup, genel terim (nr)xn−ryr\binom{n}{r} x^{n-r} y^r formülüyle hesaplanır. Negatif terimlerin tek kuvvetlerinin negatif olduğu unutulmamalıdır.
Rate this question

Topics

Binom Açılımı

More questions from this topic