Examkin

Question

Difficulty: HardBinom Açılımı
mm ve nn sıfırdan farklı birer gerçel sayı olmak üzere,
(mx2−nx)8\left(mx^2 - \frac{n}{x}\right)^8
ifadesinin açılımında x7x^7 li terimin katsayısı, x4x^4 lü terimin katsayısına eşittir.

Buna göre, mn\frac{m}{n} oranı kaçtır?

Answer: -1.25

Answer

İstenen oran −1.25-1.25 olarak bulunur.
Genel terim formülü yardımıyla x7x^7 ve x4x^4 terimlerinin katsayıları sırasıyla −56m5n3-56 m^5 n^3 ve 70m4n470 m^4 n^4 olarak elde edilir. Bu iki katsayının eşitliğinden −56m5n3=70m4n4-56 m^5 n^3 = 70 m^4 n^4 elde edilir ve sadeleştirildiğinde mn=−1.25\frac{m}{n} = -1.25 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Genel terim formülünü yazıp düzenleme.
Tk+1=(8k)(mx2)8−k(−nx)k=(8k)m8−k(−1)knkx16−3kT_{k+1} = \binom{8}{k} (mx^2)^{8-k} \left(-\frac{n}{x}\right)^k = \binom{8}{k} m^{8-k} (-1)^k n^k x^{16-3k}
Açılımdaki terimlerin derecelerini ve katsayılarını belirlemek amacıyla genel terim formülü kurulur.
2
İstenen terimlerin derecelerine göre kk değerlerini tespit etme.
x7x^7 terimi için 16−3k=7  ⟹  k=316-3k=7 \implies k=3 ve x4x^4 terimi için 16−3k=4  ⟹  k=416-3k=4 \implies k=4 bulunur.
Hangi terimlerin katsayılarının karşılaştırılacağını bulmak için indeksler belirlenir.
3
Katsayıları eşitleyip mn\frac{m}{n} değerini hesaplama.
−56m5n3=70m4n4  ⟹  −56m=70n  ⟹  mn=−1.25-56 m^5 n^3 = 70 m^4 n^4 \implies -56 m = 70 n \implies \frac{m}{n} = -1.25
Sıfırdan farklı mm ve nn değerleri için gerekli cebirsel sadeleştirmeler yapılarak oran elde edilir.

Key Concept

Binom açılımı genel terimi ve terimlerin katsayıları arasındaki ilişkiler.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Binom Açılımı

More questions from this topic