Examkin

Question

Difficulty: MediumHız ve Hareket Problemleri

Bir belediye, çevresi 12001200 metre olan dairesel bir koşu parkuru inşa etmiştir. Bu parkurun aynı noktasından, aynı anda zıt yönlere doğru koşmaya başlayan iki sporcudan Ayhan'ın hızı dakikada v1v_1 metre, Burak'ın hızı ise dakikada v2v_2 metredir.

Bu iki sporcu koşmaya başladıktan bir süre sonra karşılaşıyorlar. Karşılaşma anından sonra Ayhan koşusuna devam ederek 44 dakika sonra, Burak ise koşusuna devam ederek 99 dakika sonra başlangıç noktasına ulaşıyor.

Buna göre, bu sporculardan hızı daha fazla olanın hızı dakikada kaç metredir?

  1. A
    80
  2. B
    100
  3. 120Answer
  4. D
    144
  5. E
    150

Answer

Hızlı olan koşucunun hızı dakikada 120 metredir.
Karşılaşma süresi hareket denklemleri taraf tarafa çarpılarak t=6t = 6 dakika olarak bulunur. Buradan hızlar arasında v1=1.5v2v_1 = 1.5 v_2 oranı elde edilir. Toplam yol 12001200 metre olduğundan, hızlar toplamı dakikada 200200 metredir. Bu durumda hızlı olan sporcunun hızı dakikada 120120 metre, yavaş olanınki ise dakikada 8080 metredir.

Step-by-Step Solution

1
Karşılaşma s��resini tt dakika olarak belirleyip, sporcuların karşılaşana kadar aldıkları yolları hızları cinsinden yazalım.
Ayhan'ın aldığı yol x1=v1⋅tx_1 = v_1 \cdot t, Burak'ın aldığı yol ise x2=v2⋅tx_2 = v_2 \cdot t olur. Yolun tamamı olan 12001200 metre ise x1+x2x_1 + x_2 toplamına eşittir.
Sporcular zıt yönlerde hareket ettikleri için karşılaşana kadar aldıkları yolların toplamı dairesel pistin çevresini verir.
2
Karşılaşma anından sonra sporcuların yollarına devam ederek başlangıç noktasına ulaşma sürelerini denkleme dökelim.
Ayhan kalan yolu (x2x_2) kendi hızıyla 44 dakikada tamamladığı için x2=4⋅v1x_2 = 4 \cdot v_1 olur. Burak ise kalan yolu (x1x_1) kendi hızıyla 99 dakikada tamamladığı için x1=9⋅v2x_1 = 9 \cdot v_2 olur.
Karşılaşma noktasından başlangıç noktasına kadar olan mesafeler, diğer sporcunun karşılaşma öncesinde katettiği mesafelerdir.
3
Elde edilen v2⋅t=4v1v_2 \cdot t = 4 v_1 ve v1⋅t=9v2v_1 \cdot t = 9 v_2 denklemlerini taraf tarafa çarpalım.
(v1⋅t)⋅(v2⋅t)=4v1⋅9v2  ⟹  v1v2t2=36v1v2  ⟹  t2=36  ⟹  t=6(v_1 \cdot t) \cdot (v_2 \cdot t) = 4 v_1 \cdot 9 v_2 \implies v_1 v_2 t^2 = 36 v_1 v_2 \implies t^2 = 36 \implies t = 6 dakika bulunur.
Hızlar pozitif değerler olduğundan sadeleştirme yapılarak doğrudan karşılaşma süresi tt hesaplanabilir.
4
Bulduğumuz t=6t = 6 değerini denklemlerden birinde yerine yazarak hızlar arasındaki oranı belirleyelim.
6v2=4v1  ⟹  3v2=2v1  ⟹  v1=1.5v26 v_2 = 4 v_1 \implies 3 v_2 = 2 v_1 \implies v_1 = 1.5 v_2 elde edilir.
Hızlar arasındaki oranı bulmak, toplam hızı paylaştırmamızı sağlayacaktır.
5
Pistin çevresi 12001200 metre olduğuna göre karşılaşma s��resi yardımıyla hızları hesaplayalım.
(v1+v2)⋅6=1200  ⟹  v1+v2=200(v_1 + v_2) \cdot 6 = 1200 \implies v_1 + v_2 = 200 olur. v1=1.5v2v_1 = 1.5 v_2 eşitliği kullanıldığında 1.5v2+v2=200  ⟹  2.5v2=200  ⟹  v2=801.5 v_2 + v_2 = 200 \implies 2.5 v_2 = 200 \implies v_2 = 80 m/dk ve buradan v1=120v_1 = 120 m/dk bulunur.
Karşılaşma süresi ile hızlar toplamının çarpımı toplam pist çevresini vermelidir. Bu denklemden her iki hız değeri net olarak bulunur.

Key Concept

Dairesel pistte zıt yönlü hareketlilerin karşılaşma süresi ve karşılaştıktan sonra yollarına devam etme durumlarının oranlanarak çözülmesi.

Alternative Method

Pratik bir kural olarak, iki hareketlinin karşılaştıktan sonra başlangıç noktalarına ulaşma süreleri sırasıyla t1t_1 ve t2t_2 ise, karşılaşma süresi t=t1⋅t2t = \sqrt{t_1 \cdot t_2} formülü ile bulunabilir. Buradan t=4⋅9=6t = \sqrt{4 \cdot 9} = 6 dakika bulunur. Daha sonra v1⋅6=9v2  ⟹  2v1=3v2v_1 \cdot 6 = 9 v_2 \implies 2v_1 = 3v_2 şeklinde hızlar oranı doğrudan yazılabilir.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Hız ve Hareket Problemleri

More questions from this topic