Examkin

Question

Difficulty: HardSayı Kümeleri

aa, bb ve cc sıfırdan farklı birer gerçel sayı olmak üzere;
a⋅ba \cdot b, b⋅cb \cdot c ve a⋅ca \cdot c çarpımlarından iki tanesi rasyonel sayı, bir tanesi ise irrasyonel sayıdır.

Buna göre,
I. aa, bb ve cc sayılarının üçü de irrasyonel sayıdır.
II. a⋅b⋅ca \cdot b \cdot c çarpımı irrasyonel sayıdır.
III. a+b+ca + b + c toplamı sıfır olamaz.

ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?

  1. A
    Yalnız I
  2. B
    I ve II
  3. C
    I ve III
  4. D
    II ve III
  5. I, II ve IIIAnswer

Answer

I, II ve III
Verilen bilgilere göre, a⋅ba \cdot b ve b⋅cb \cdot c rasyonel sayı iken a⋅ca \cdot c irrasyonel sayı olsun. Bu durumda sayılardan herhangi birinin rasyonel olması diğerlerini de rasyonel yapacağından çelişki doğar; yani tüm sayılar irrasyoneldir (I. ifade doğru). a⋅b⋅ca \cdot b \cdot c çarpımı rasyonel olsaydı, rasyonel olan a⋅ba \cdot b çarpımına bölündüğünde rasyonel bir cc sayısı elde edilirdi ki bu da çelişkidir (II. ifade doğru). Son olarak, a+b+c=0a+b+c=0 olsaydı b2b^2 rasyonel olur ve bu da a⋅ca \cdot c çarpımını rasyonel yapardı. Bu çelişki nedeniyle toplam sıfır olamaz (III. ifade doğru).

Step-by-Step Solution

1
Çarpımların rasyonel ve irrasyonel olma durumlarını belirleme.
Genelliği bozmadan a⋅b=q1∈Qa \cdot b = q_1 \in \mathbb{Q} ve b⋅c=q2∈Qb \cdot c = q_2 \in \mathbb{Q} rasyonel sayılar olsun. Bu durumda a⋅ca \cdot c çarpımı irrasyonel sayı (Q′\mathbb{Q}') olur.
Soruda verilen koşula göre üç çarpımdan tam olarak ikisi rasyonel, biri irrasyoneldir.
2
I. öncülün doğruluğunu ispatlama.
aa, bb ve cc sayılarının üçü de irrasyoneldir.
Eğer bu sayılardan herhangi biri rasyonel olsaydı (örneğin b∈Qb \in \mathbb{Q}), sıfırdan farklı oldukları için diğer tüm sayılar da rasyonel olurdu (a=q1/ba = q_1/b ve c=q2/bc = q_2/b). Bu durum a⋅ca \cdot c'nin irrasyonel olmasıyla çelişirdi.
3
II. öncülün doğruluğunu ispatlama.
a⋅b⋅ca \cdot b \cdot c çarpımı irrasyoneldir.
Eğer bu çarpım rasyonel olsaydı (a⋅b⋅c=q3∈Qa \cdot b \cdot c = q_3 \in \mathbb{Q}), a⋅ba \cdot b rasyonel olduğundan, c=q3/(a⋅b)c = q_3 / (a \cdot b) sayısı da rasyonel olmak zorunda kalırdı. Ancak cc'nin irrasyonel olduğunu biliyoruz.
4
III. öncülün doğruluğunu ispatlama.
a+b+ca+b+c toplamı sıfır olamaz.
Eğer a+b+c=0a+b+c = 0 olsaydı, a+c=−ba+c = -b olurdu. Buradan b(a+c)=−b2b(a+c) = -b^2 elde edilirdi. a⋅ba \cdot b ve b⋅cb \cdot c rasyonel olduğundan, bunların toplamı olan b(a+c)=−b2b(a+c) = -b^2 de rasyonel olurdu. Bu durumda b2b^2 rasyonel olur ve a⋅c=(a⋅b)(b⋅c)b2a \cdot c = \frac{(a \cdot b)(b \cdot c)}{b^2} ifadesi rasyonel olmak zorunda kalırdı. Bu durum a⋅ca \cdot c'nin irrasyonel olmasıyla çelişir.

Key Concept

Sayı Kümelerinin (Rasyonel ve İrrasyonel Sayılar) Çarpma ve Toplama İşlemleri Altındaki Kapalılık ve İlişki Özellikleri
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Sayı Kümeleri

More questions from this topic