Examkin

Question

Difficulty: MediumMutlak Değerli Eşitsizlikler

Bir bilgisayar programında sisteme girilen bir xx gerçel sayısı için;
* ∣x−2∣≤5|x - 2| \leq 5 eşitsizliği sağlandığında yeşil ışık,
* ∣x−1∣>3|x - 1| > 3 eşitsizliği sağlandığında ise mavi ışık
yanmaktadır.

Buna göre, sisteme girilen xx tam sayılarından kaç tanesi için yeşil ve mavi ışıklar aynı anda yanar?

  1. A
    2
  2. B
    3
  3. 4Answer
  4. D
    5
  5. E
    6

Answer

Yeşil ve mavi ışıkların aynı anda yanmasını sağlayan 4 farklı x tam sayısı vardır.
Yeşil ve mavi ışıkların aynı anda yanması için her iki mutlak değerli eşitsizliğin de aynı anda sağlanması gerekir. Birinci eşitsizlikten −3≤x≤7-3 \leq x \leq 7 aralığı elde edilir. İkinci eşitsizlikten ise x>4x > 4 veya x<−2x < -2 bölgeleri elde edilir. Bu iki bölgenin kesişiminde yer alan tam sayılar −3,5,6-3, 5, 6 ve 77 olmak üzere 4 tanedir. Bu nedenle doğru cevap 4 değeridir.

Step-by-Step Solution

1
Yeşil ışık için verilen ∣x−2∣≤5|x - 2| \leq 5 eşitsizliğini çözelim.
−3≤x≤7-3 \leq x \leq 7
Mutlak değerli bir ifade pozitif bir sayıdan küçük veya eşitse, içerideki ifade bu sayının negatifi ile pozitifi arasında yer alır: −5≤x−2≤5⇒−3≤x≤7-5 \leq x - 2 \leq 5 \Rightarrow -3 \leq x \leq 7.
2
Mavi ışık için verilen ∣x−1∣>3|x - 1| > 3 eşitsizliğini çözelim.
x>4x > 4 veya x<−2x < -2
Mutlak değerli bir ifade pozitif bir sayıdan büyükse, içerideki ifade ya bu sayıdan büyüktür ya da bu sayının negatifinden küçüktür: x−1>3⇒x>4x - 1 > 3 \Rightarrow x > 4 veya x−1<−3⇒x<−2x - 1 < -3 \Rightarrow x < -2.
3
Her iki eşitsizliği de aynı anda sağlayan xx tam sayılarını belirleyelim.
−3,5,6,7-3, 5, 6, 7 sayıları (Toplam 4 adet)
−3≤x≤7-3 \leq x \leq 7 aralığındaki tam sayılardan x<−2x < -2 koşulunu sağlayan yalnızca −3-3 vardır. x>4x > 4 koşulunu sağlayanlar ise 5,6,75, 6, 7 sayılarıdır. Dolayısıyla ortak çözüm kümesi {−3,5,6,7}\{-3, 5, 6, 7\} olup 4 elemanlıdır.

Key Concept

Mutlak değerli eşitsizliklerin çözüm aralıklarının bulunması ve kesişim kümelerinin oluşturulması.

Alternative Method

Sayı doğrusu üzerinde çizim yaparak çözüm kümelerini görselleştirebilirsiniz. xx sayısının 22 noktasına uzaklığı en fazla 55 birim olan bölge [−3,7][-3, 7] kapalı aralığıdır. xx sayısının 11 noktasına uzaklığı 33 birimden fazla olan bölgeler ise 44'ün sağ tarafı ile −2-2'nin sol tarafıdır. Bu iki bölgenin üst üste bindiği tam sayılar sayı doğrusundan kolayca −3,5,6,7-3, 5, 6, 7 olarak okunabilir.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Mutlak Değerli Eşitsizlikler

More questions from this topic