Examkin

Question

Difficulty: MediumKümelerde Kesişim ve Birleşim İşlemleri

Bir halk eğitim merkezindeki kursiyerlerden fotoğrafçılık (FF), seramik (SS) ve satranç (TT) kurslarına katılanlarla ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* Kursiyerlerden her üç kursa da katılan kimse bulunmamaktadır.
* Bu üç kurstan herhangi ikisine birden katılan kursiyer sayıları birbirine eşittir.
* Sadece bir kursa katılan toplam kursiyer sayısı 24'tür.
* Fotoğrafçılık veya seramik kursuna katılan kursiyer sayısı 27'dir.
* Seramik veya satranç kursuna katılan kursiyer sayısı 29'dur.
* Fotoğrafçılık veya satranç kursuna katılan kursiyer sayısı 28'dir.

Buna göre, bu kursiyerlerden en az iki kursa katılan toplam kursiyer sayısı kaçtır?

Answer: 12

Answer

En az iki kursa katılan toplam kursiyer sayısı 12'dir.
Verilen birleşim kümelerinin eleman sayıları Venn şeması üzerinde harflendirildiğinde, denklemlerin taraf tarafa toplanmasıyla 2(a+b+c)+9k=842(a+b+c) + 9k = 84 elde edilir. Sadece bir kursa katılanların toplamı (a+b+c=24a+b+c = 24) yerine konduğunda k=4k = 4 bulunur. En az iki kursa katılanlar ise ikişerli kesişimlerin toplamı olan 3k3k değerine karşılık geldiği için doğru yanıt 12 olur.

Step-by-Step Solution

1
Kümelerin bölgelerini harflendirerek modelleme yapılması.
Sadece bir kursa katılanlar için a+b+c=24a + b + c = 24 ve ikişerli kesişimler için kk değeri tanımlandı.
Soruda verilen sözel ifadeleri matematiksel denklemlere dönüştürmek için.
2
Birleşim kümelerinin eleman sayılarını veren denklemlerin yazılması.
a+b+3k=27a + b + 3k = 27, b+c+3k=29b + c + 3k = 29 ve a+c+3k=28a + c + 3k = 28 denklemleri elde edildi.
Her bir birleşim kümesinin Venn şemasındaki hangi bölgeleri kapsadığını belirlemek için.
3
Yazılan denklemlerin taraf tarafa toplanması.
2(a+b+c)+9k=842(a + b + c) + 9k = 84 genel denklemi elde edildi.
Değişkenleri sadeleştirmek ve bilinen toplam değerini (a+b+ca+b+c) kullanabilmek için.
4
a+b+c=24a + b + c = 24 değerinin denklemde yerine yazılarak kk değerinin çözülmesi.
48+9k=84  ⟹  9k=36  ⟹  k=448 + 9k = 84 \implies 9k = 36 \implies k = 4 olarak bulundu.
Bilinmeyen kesişim bölgesi eleman sayısına ulaşmak için.
5
En az iki kursa katılanların sayısının hesaplanması.
3k=123k = 12 olarak hesaplandı.
En az iki kursa katılanlar ikişerli ve üçerli kesişimlerin toplamını ifade ettiği için.

Key Concept

Kümelerde birleşim ve kesişim işlemlerinin Venn şeması üzerinde bölgelere ayrılarak modellenmesi ve eleman sayısı formüllerinin uygulanması.

Alternative Method

Kümelerin eleman sayıları formülü kullanılarak da çözülebilir: s(F∪S)=s(F)+s(S)−s(F∩S)s(F \cup S) = s(F) + s(S) - s(F \cap S) formülüyle her kümenin eleman sayısı denklemi yazılıp taraf tarafa toplanarak sonuca ulaşılabilir.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Kümelerde Kesişim ve Birleşim İşlemleri

More questions from this topic