Examkin

Question

Difficulty: MediumKüme Problemleri

32 kişilik bir sınıftaki öğrenciler spor ve sanat kamplarından en az birine katılabileceği gibi hiçbirine katılmaya da bilir. Bu sınıfta spor kampına katılan 18, sanat kampına katılan 16 öğrenci vardır. Kamplardan sadece birine katılan öğrenci sayısı, hiçbir kampa katılmayan öğrenci sayısının 4 katıdır. Buna göre, bu kamplardan en az birine katılan öğrenci sayısı kaçtır?

  1. A
    20
  2. B
    22
  3. C
    25
  4. 27Answer
  5. E
    29

Answer

En az bir kampa katılan öğrenci sayısı 27'dir.
Doğru cevap, en az bir kampa katılan öğrenci sayısının 27 olduğunu belirten seçenektir. Toplam 32 öğrenciden hiçbir kampa katılmayan 5 öğrenci çıkarıldığında ya da spor kampına katılan 18 ile sanat kampına katılan 16 öğrencinin toplamından her iki kampa da katılan 7 öğrenci çıkarıldığında 27 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Spor kampı kümesini SS, sanat kampı kümesini AA, evrensel kümeyi UU olarak tanımlayıp bilinmeyen bölgeleri değişkenlerle ifade etmek.
∣S∩A∣=x|S \cap A| = x (her iki kampa katılanlar) ve ∣(S∪A)′∣=y|(S \cup A)'| = y (hiçbir kampa katılmayanlar) olsun.
Sorudaki sözel ifadeleri matematiksel küme terimlerine dönüştürmek için.
2
Sadece bir kampa katılan öğrenci sayısını ifade eden denklemi kurmak.
Sadece spor kampına katılanlar: 18−x18 - x, sadece sanat kampına katılanlar: 16−x16 - x. Sadece bir kampa katılanler: (18−x)+(16−x)=34−2x(18 - x) + (16 - x) = 34 - 2x. Bu sayı hiçbir kampa katılmayanların 4 katı olduğuna göre: 34−2x=4y  ⟹  x+2y=1734 - 2x = 4y \implies x + 2y = 17 elde edilir.
Yalnız bir kampa katılanlar ile hiçbirine katılmayanlar arasındaki oran ilişkisini denklemleştirmek için.
3
Sınıf mevcudunu kullanarak ikinci bir denklem elde etmek.
Sınıf mevcudu: (18−x)+(16−x)+x+y=32  ⟹  34−x+y=32  ⟹  x−y=2(18 - x) + (16 - x) + x + y = 32 \implies 34 - x + y = 32 \implies x - y = 2 elde edilir.
Sınıftaki tüm öğrencilerin toplamını veren denklemi oluşturmak için.
4
Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemini çözmek.
x=y+2x = y + 2 ifadesini ilk denklemde yerine yazarsak: (y+2)+2y=17  ⟹  3y+2=17  ⟹  3y=15(y + 2) + 2y = 17 \implies 3y + 2 = 17 \implies 3y = 15 bulunur. Buradan y=5y = 5 ve x=7x = 7 elde edilir.
Kesişim (xx) ve hiçbir kampa katılmayanlar (yy) bölgelerinin eleman sayılarını bulmak için.
5
Soruda istenen en az bir kampa katılan öğrenci sayısını (birleşim kümesini) hesaplamak.
En az bir kampa katılan öğrenci sayısı: ∣S∪A∣=32−y=32−5=27|S \cup A| = 32 - y = 32 - 5 = 27 olarak bulunur.
Soruda sorulan 'en az birine katılan' (birleşim) ifadesinin değerini bulmak için.

Key Concept

Kümelerde birleşim, kesişim, fark ve tümleme işlemlerini kullanarak sözel problemleri denklem sistemine dönüştürme ve çözme.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Küme Problemleri

More questions from this topic