Küme Problemleri Practice Questions — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi)

Question 1Question →

Bir iş yerindeki $35$ çalışanın tamamı çay, kahve veya meyve suyu ikramlarından en az birini almıştır. Bu çalışanların ikramları alma durumlarıyla ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Sadece çay, sadece kahve ve sadece meyve suyu alanların sayıları birbirine eşittir.
* Çay ve kahve alanların sayısı, çay ve meyve suyu alanların sayısına eşittir.
* Sadece çay ve kahve alanların sayısı, sadece kahve ve meyve suyu alanların sayısının $2$ katıdır.
* En az iki ikram alanların sayısı, üç ikramı da alanların sayısının $2$ katıdır.

Buna göre, bu iş yerinde çay ikramı alan çalışan sayısı kaçtır?

13

15

19

23

25

Show answer & explanation

Answer: 23

Answer

Çay ikramı alan çalışan sayısı 23'tür.

Çay ikramı alanların sayısı, çay kümesini oluşturan tüm alt bölgelerin toplamıdır. Kurulan denklem sisteminden elde edilen tek tam sayı çözümü

x=5, f=2

olup bu değerler yerlerine yazıldığında çay içenlerin sayısı

5 + 4 + 4 + 10 = 23

olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Küme bölgelerini değişkenlerle tanımlama

Çay (

Ç

), Kahve (

K

) ve Meyve Suyu (

M

) kümeleri tanımlanır. Sadece bir içecek alanlar:

s(\text{Sadece } Ç) = s(\text{Sadece } K) = s(\text{Sadece } M) = x

olsun. Sadece iki içecek alanlar:

d

(sadece çay ve kahve),

e

(sadece çay ve meyve suyu),

f

(sadece kahve ve meyve suyu) olsun. Üçünü de alanlar ise

g

olarak adlandırılır.

Soruda verilen sözel ifadeleri cebirsel denklemlere dönüştürmek için her bölgeye bir değişken atanır.

2

Koşullara göre denklemleri kurma

1. Çay ve kahve alanlar ile çay ve meyve suyu alanlar eşit olduğundan:

d + g = e + g \Rightarrow d = e

.
2. Sadece çay ve kahve alanlar, sadece kahve ve meyve suyu alanların 2 katı olduğundan:

d = 2f

(dolayısıyla

e = 2f

).
3. En az iki ikram alanlar, üçünü de alanların 2 katı olduğundan:

d + e + f + g = 2g \Rightarrow d + e + f = g

elde edilir.

Verilen tüm ipuçlarını matematiksel eşitlikler haline getirerek değişkenler arası geçiş sağlamak.

3

Değişkenleri tek bir bilinmeyen cinsinden yazma

d = 2f

,

e = 2f

ve

g = 2f + 2f + f = 5f

olarak bulunur.

Denklemleri çözebilmek için bilinmeyen sayısını en aza indirmek gerekir.

4

Toplam çalışan sayısından Diophantine denklemini kurma ve çözme

Toplam =

3x + d + e + f + g = 35 \Rightarrow 3x + 2f + 2f + f + 5f = 35 \Rightarrow 3x + 10f = 35

elde edilir.

x

ve

f

kişi sayısı temsil ettiğinden pozitif tam sayı olmalıdır. Bu eşitliği sağlayan tek pozitif tam sayı ikilisi

f = 2

ve

x = 5

değerleridir. Buna göre bölgeler:

x = 5

,

d = 4

,

e = 4

,

f = 2

,

g = 10

olarak belirlenir.

Toplam çalışan sayısını kullanarak bilinmeyenlerin değerlerini tam sayı analizine göre saptamak.

5

Çay alan çalışan sayısını hesaplama

s(Ç) = x + d + e + g = 5 + 4 + 4 + 10 = 23

bulunur.

Çay kümesinin tamamına ait olan tüm bölgelerin eleman sayıları toplanarak sonuca ulaşılır.

Key Concept

Üçlü küme problemlerinde Venn şeması bölgelerini harflendirerek denklem kurma ve tam sayı kısıtlarına göre çözümleme yapma.

Question 2Question →

Bir sınıftaki öğrencilerin tamamı İngilizce ve Almanca kurslarından en az birine gitmektedir. Bu sınıftaki öğrencilerle ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* İngilizce kursuna giden öğrenci sayısı, Almanca kursuna giden öğrenci sayısının $2$ katıdır.
* Sadece Almanca kursuna giden öğrenci sayısı, her iki kursa da giden öğrenci sayısından fazladır.

Bu sınıfta toplam $36$ öğrenci olduğuna göre, her iki kursa da giden öğrenci sayısı en çok kaçtır?

6

7

9

12

15

Show answer & explanation

Answer: 6

Answer

Her iki kursa da giden öğrenci sayısı en çok 6'dır.

Küme bölgeleri harflendirildiğinde elde edilen

3b + 2x = 36

denklemine göre,

b

değerinin bir tam sayı olabilmesi için

x

değeri

3

'ün katı olmalıdır. Sadece Almanca kursuna giden öğrenci sayısı (

b

), her iki kursa giden öğrenci sayısından (

x

) fazla olduğuna göre

b > x

eşitsizliği yazılır. Bu eşitsizlikte

b

yerine

12 - \frac{2}{3}x

yazıldığında

x < 7,2

elde edilir.

7,2

değerinden küçük ve

3

'ün katı olan en büyük pozitif tam sayı

6

olduğundan, her iki kursa giden öğrenci sayısı en çok 6 olabilir.

Step-by-Step Solution

1

Küme bölgelerini harflendirerek temel denklemi yazın.

İngilizce ve Almanca kurslarına giden öğrencilerin kümesi sırasıyla

İ

ve

A

olsun. Sadece İngilizceye gidenler

a

, sadece Almancaya gidenler

b

ve her iki kursa birden gidenler

x

olsun. Sınıfta kursa gitmeyen öğrenci bulunmadığından

a + b + x = 36

olur.

Soruda verilen toplam öğrenci sayısını cebirsel olarak ifade etmek için.

2

Kurslara katılan toplam öğrenci sayıları arasındaki kat ilişkisini kurun.

İngilizce kursuna giden toplam öğrenci sayısı

s(İ) = a + x

ve Almanca kursuna giden toplam öğrenci sayısı

s(A) = b + x

olur. Verilen bilgiye göre:

a + x = 2(b + x) \implies a + x = 2b + 2x \implies a = 2b + x

elde edilir.

İngilizce kursuna gidenlerin Almanca kursuna gidenlerin 2 katı olduğunu denklem haline getirmek için.

3

Elde edilen ifadeleri toplam öğrenci sayısı denkleminde yerine yazın ve sadeleştirin.

a = 2b + x

ifadesi

a + b + x = 36

denkleminde yerine yazılırsa:

(2b + x) + b + x = 36 \implies 3b + 2x = 36

bulunur. Buradan

3b = 36 - 2x

veya

b = 12 - \frac{2}{3}x

elde edilir.

b

bir öğrenci sayısı (tam sayı) olmak zorunda olduğundan,

x

değeri

3

'ün katı olmalıdır.

İki bilinmeyenli tek bir denklem elde ederek değişkenler arasındaki bölünebilirlik ilişkisini belirlemek için.

4

Verilen eşitsizlik koşulunu uygulayarak sınır değerini bulun.

Sadece Almanca kursuna gidenlerin sayısı (

b

), her iki kursa gidenlerin sayısından (

x

) fazla olduğuna göre

b > x

olmalıdır.

b

yerine

12 - \frac{2}{3}x

yazılırsa:

12 - \frac{2}{3}x > x \implies 12 > \frac{5}{3}x \implies 36 > 5x \implies x < 7,2

elde edilir.

Her iki kursa giden ö��renci sayısının üst sınırını belirlemek için.

5

Sınır değerine ve bölünebilirlik kuralına uygun en büyük de��eri seçin.

x

sayısı hem

7,2

değerinden küçük olmalı hem de

3

'ün katı bir pozitif tam sayı olmalıdır. Bu koşulları sağlayan

x

değerleri

3

veya

6

olabilir. En çok dendiği için

x = 6

seçilir.

Soruda istenen maksimum değeri bulmak için.

Key Concept

Küme problemlerinde sözel ifadelerin Venn şeması bölgelerine doğru yerleştirilmesi, elde edilen denklemlerde kişi sayılarının pozitif tam sayı olma koşulunun kullanılması ve eşitsizlik sınırlarının belirlenmesi.

Alternative Method

Soruyu çözerken formüller yerine doğrudan bir Venn şeması çizerek bölgelere sırasıyla

x

,

a

ve

b

yazıp denklemleri şema üzerinde görselleştirmek, hata yapma riskini azaltır ve hangi bölgenin hangi koşulla sınırlı olduğunu net görmeyi sağlar.

Estimated Time:2m 0s

Question 3Question →

Bir kahve dükkanında sipariş veren $48$ müşterinin tamamı; süt ( $S$ ), şurup ( $Ş$ ) ve buz ( $B$ ) ilavelerinden en az birini tercih etmiştir.

Bu müşterilerin tercihleriyle ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:
* Bu ilavelerden yalnızca ikisini tercih eden müşteri sayısı, üçünü de tercih eden müşteri sayısının $3$ katıdır.
* Yalnızca bir ilave tercih eden müşteri sayısı, en az iki ilave tercih eden müşteri sayısının $2$ katıdır.
* Süt ilavesini tercih eden müşteri sayısı $26$ , şurup ilavesini tercih eden müşteri sayısı $24$ 'tür.

Buna göre, bu müşterilerden kaç tanesi buz ilavesini tercih etmiştir?

14

16

18

20

22

Show answer & explanation

Answer: 18

Answer

Buz ilavesini tercih eden müşteri sayısı 18'dir.

Verilen oranlar ve toplam müşteri sayısından yola çıkılarak bölge toplamları belirlenir. Süt ve şurup ilavesi tercih edenlerin denklemleri taraf tarafa toplandığında elde edilen cebirsel ifade ile yalnız bir ilave tercih edenlerin toplamı birleştirildiğinde buz ilavesi tercih edenlerin sayısı olan 18 değerine ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Verilen oranları kullanarak küme bölgelerini temsil eden değişkenleri belirleyelim.

Üç ilaveyi de tercih edenlerin sayısı

x

olsun. Yalnızca iki ilaveyi tercih edenlerin sayısı

3x

olur. En az iki ilaveyi tercih edenlerin sayısı

3x + x = 4x

olur. Yalnızca bir ilaveyi tercih edenlerin sayısı ise

2 \times 4x = 8x

olur. Toplam müşteri sayısı

8x + 3x + x = 12x = 48

olarak verildiğinden

x = 4

bulunur. Buradan; üçünü de tercih edenlerin sayısı

4

, yalnızca ikisini tercih edenlerin sayısı

12

, yalnızca birini tercih edenlerin sayısı

32

olarak elde edilir.

Mevcut verilerden yararlanarak kümenin temel bölge toplamlarını sayısal değerlere dönüştürmek gerekir.

2

Küme bölgelerini harflendirerek süt ve şurup kümelerinin eleman sayılarını veren denklemleri kuralım.

Yalnızca Süt alanlar

a

, yalnızca Şurup alanlar

b

, yalnızca Buz alanlar

c

olsun (

a + b + c = 32

). Sadece Süt ve Şurup alanlar

d

, sadece Şurup ve Buz alanlar

e

, sadece Süt ve Buz alanlar

f

olsun (

d + e + f = 12

). Üçünü de alanların sayısı

g = 4

olsun. Süt tercih edenler:

a + d + f + 4 = 26 \implies a + d + f = 22

(Denklem 1). Şurup tercih edenler:

b + d + e + 4 = 24 \implies b + d + e = 20

(Denklem 2).

Süt ve şurup tercih eden müşteri sayılarını bölgelerin harflendirilmiş ifadeleri cinsinden yazarak ortak çözüme zemin hazırlamak gerekir.

3

Elde edilen denklemleri taraf tarafa toplayıp bilinen toplamları yerine yazarak buz kümesinin eleman sayısını bulalım.

Denklem 1 ve Denklem 2 taraf tarafa toplanırsa:

a + b + 2d + e + f = 42

elde edilir. Burada

a + b = 32 - c

ve

e + f = 12 - d

değerleri yerine yazılırsa:

(32 - c) + 2d + (12 - d) = 42 \implies 44 - c + d = 42 \implies c - d = 2

bulunur. Bizden istenen buz tercih edenlerin sayısı:

s(B) = c + e + f + 4 = c + (12 - d) + 4 = c - d + 16

şeklindedir. Burada

c - d = 2

yazılırsa

s(B) = 2 + 16 = 18

olarak hesaplanır.

Her bir bölgenin eleman sayısı tek tek bulunamasa da, cebirsel sadeleştirme ile buz kümesinin eleman sayısı doğrudan bulunabilir.

Key Concept

Küme Problemleri ve Denklem Kurma

Question 4Question →

Bir sınıftaki öğrenciler İngilizce, Almanca ve Fransızca dillerinden en az birini bilmektedir. Bu sınıftaki öğrencilerin dilleri bilme durumlarıyla ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* İngilizce bilenlerin sayısı, Almanca bilenlerin sayısının $3$ katıdır.
* Sadece bir dil bilenlerin sayısı, en az iki dil bilenlerin sayısına eşittir.
* Almanca ve Fransızca dillerinin her ikisini de bilen öğrenci bulunmamaktadır.

Sınıf mevcudu $40$ 'tan az olduğuna göre, Fransızca bilen öğrenci sayısı en çok kaçtır?

28

29

30

32

33

Show answer & explanation

Answer: 30

Answer

Fransızca bilen öğrenci sayısı en çok 30 olabilir.

Doğru cevap 30'dur. Küme probleminin koşulları cebirsel olarak ifade edilip

b = 0

seçildiğinde Fransızca bilenlerin sayısı

3z - x

olur.

2x \ge z

sınır koşulu ve sınıf mevcudunun en çok 38 (

x+z \le 19

) olabileceği dikkate alındığında,

x+z = 18

ve

z = 12, x = 6

değerleri için tüm bölgeler pozitif tam sayı kalırken Fransızca bilen sayısı en fazla 30 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Almanca ve Fransızca dillerini birlikte bilen öğrenci bulunmadığından

A \cap F = \emptyset

olarak belirlenir. Venn şemasındaki bölgeler harflendirilir: Sadece İngilizce bilenler

a

, sadece Almanca bilenler

b

, sadece Fransızca bilenler

c

, İngilizce ve Almanca bilenler

x

, İngilizce ve Fransızca bilenler

z

olsun.

s(I) = a + x + z

,

s(A) = b + x

ve

s(F) = c + z

olarak tanımlanır.

Sorudaki sözel ifadeleri matematiksel değişkenlere dönüştürmek için.

2

Verilen koşullara göre denklemler kurulur. İngilizce bilenlerin sayısı Almanca bilenlerin 3 katıdır:

a + x + z = 3(b + x) \implies a = 3b + 2x - z

. Sadece bir dil bilenlerin sayısı en az iki dil bilenlere eşittir:

a + b + c = x + z

(çünkü

A \cap F = \emptyset

olduğundan başka kesişim bölgesi yoktur).

c = x + z - a - b

ifadesinde

a

yerine yazıldığında

c = 2z - x - 4b

bulunur.

Bilinmeyen sayısını azaltıp Fransızca bilenlerin sayısını (

s(F) = c + z

) tek bir cebirsel ifadeye indirgemek için.

3

Sınıf mevcudu (

N

) ifadesi düzenlenir ve eşitsizlik sınırları belirlenir.

N = a + b + c + x + z = 2(x + z) < 40 \implies x + z \le 19

(sınıf mevcudu tam sayı olmak zorunda olduğundan).

x + z \le 19

sınır koşulu elde edilir.

Sınıf mevcudunun üst sınırını kullanarak değişkenlerin aralığını daraltmak için.

4

s(F) = c + z = 3z - x - 4b

ifadesinin en büyük değeri için

b = 0

seçilir. Bölgelerdeki eleman sayılarının negatif olamayacağı sınır durumları (

a \ge 0 \implies 2x \ge z

ve

c \ge 0 \implies 2z \ge x

) altında maksimum değer aranır.

x+z=18

için en büyük

z=12, x=6

seçildiğinde

s(F) = 3(12) - 6 - 0 = 30

bulunur.

x+z=19

için en büyük

z=12, x=7

seçildiğinde

s(F) = 29

bulunur.

Tam sayı sınır koşullarını sağlayan en büyük değeri bulmak için.

Key Concept

Cebirsel Modelleme ve Eşitsizlik Sınırları Yardımıyla Küme Problemlerinin Çözümü

Alternative Method

Cebirsel denklemleri yazdıktan sonra Venn şemasında bölgeleri doğrudan sayısal olarak deneyerek de sınırlar görülebilir; ancak en büyük değeri garantilemek için

2x \ge z

eşitsizliğini kurmak en güvenli yoldur.

Estimated Time:3m 0s

Question 5Question →

Bir seyahat acentesinin düzenlediği tura katılan $70$ turistin her biri Efes ( $E$ ), Kapadokya ( $K$ ) ve Pamukkale ( $P$ ) ören yerlerinden en az birini ziyaret etmiştir.

Bu turistlerin ziyaret ettikleri yerlerle ilgili aşağıdaki bilgiler bilinmektedir:
* Sadece Kapadokya'yı ziyaret edenlerin sayısı, sadece Efes'i ziyaret edenlerin sayısının $2$ katıdır.
* Sadece Pamukkale'yi ziyaret edenlerin sayısı, Efes ve Kapadokya'yı ziyaret edip Pamukkale'yi ziyaret etmeyenlerin sayısına eşittir.
* Efes ve Pamukkale'yi ziyaret edip Kapadokya'yı ziyaret etmeyenlerin sayısı, Kapadokya ve Pamukkale'yi ziyaret edip Efes'i ziyaret etmeyenlerin sayısına eşittir.
* Efes ve Kapadokya'yı ziyaret edenlerin sayısı $26$ 'dır.
* Sadece bir ören yerini ziyaret eden toplam turist sayısı $36$ 'dır.
* Her üç ören yerini de ziyaret eden turist sayısı $8$ 'dir.

Buna göre, bu grupta Kapadokya'yı ziyaret eden toplam turist sayısı kaçtır?

30

34

42

36

38

Show answer & explanation

Answer: 42

Answer

Kapadokya'yı ziyaret eden toplam turist sayısı 42'dir.

Kapadokya'yı ziyaret eden turistlerin toplam sayısı, Kapadokya kümesinin alt bölgelerindeki tüm elemanların (sadece Kapadokya'yı ziyaret edenler, sadece Efes ve Kapadokya'yı ziyaret edenler, sadece Kapadokya ve Pamukkale'yi ziyaret edenler ve her üçünü de ziyaret edenler) toplamı olan

12 + 18 + 4 + 8 = 42

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Venn şemasındaki bölgeleri değişkenlerle ifade edelim. Sadece Efes'i ziyaret edenlere

a

, sadece Kapadokya'yı ziyaret edenlere

b

, sadece Pamukkale'yi ziyaret edenlere

c

diyelim. Sadece Efes ve Kapadokya'yı ziyaret edenlere

x

, sadece Efes ve Pamukkale'yi ziyaret edenlere

y

, sadece Kapadokya ve Pamukkale'yi ziyaret edenlere

z

diyelim. Her üçünü ziyaret edenler

t = 8

olarak verilmiştir.

Değişkenler:

a, b, c, x, y, z

ve

t = 8

.

Problemdeki sözel ifadeleri matematiksel modelleme için değişkenlere aktarmak.

2

Soruda verilen bilgileri bu değişkenler cinsinden denklem haline getirelim:
1.

b = 2a

2.

c = x

3.

y = z

4. Efes ve Kapadokya'yı ziyaret edenlerin toplamı:

x + t = 26 \implies x + 8 = 26 \implies x = 18

5. Sadece bir yeri ziyaret edenler:

a + b + c = 36

6. Toplam turist sayısı:

a + b + c + x + y + z + t = 70

x = 18

denklemi ve diğer ilişkiler elde edildi.

Verilen kısıtları matematiksel denklemlere dönüştürmek.

3

x = 18

ve

c = x

olduğundan

c = 18

bulunur. Bu değeri sadece bir yeri ziyaret edenler denkleminde yerine yazalım:

a + b + 18 = 36 \implies a + b = 18

.

b = 2a

yazarak

a + 2a = 18 \implies 3a = 18 \implies a = 6

ve

b = 12

bulunur.

a = 6

,

b = 12

,

c = 18

,

x = 18

.

Elde edilen verilerle tek değişkenli denklemleri çözmek.

4

Bulduğumuz değerleri toplam turist sayısı denkleminde yerine yerleştirerek

y

ve

z

değerlerini bulalım:

6 + 12 + 18 + 18 + y + z + 8 = 70 \implies 62 + y + z = 70 \implies y + z = 8

.

y = z

olduğundan

2y = 8 \implies y = 4

ve

z = 4

elde edilir.

y = 4

ve

z = 4

.

Kesişim bölgelerindeki eksik eleman sayılarını tamamlamak.

5

Kapadokya'yı ziyaret eden toplam turist sayısını bulmak için Kapadokya kümesinin (

K

) elemanlarını toplayalım:

s(K) = b + x + z + t = 12 + 18 + 4 + 8 = 42

olarak bulunur.

s(K) = 42

.

İstenen kümenin eleman sayısını hesaplamak.

Key Concept

Üçlü küme problemlerinde Venn şeması bölgelerini harflendirerek denklem kurma ve küme eleman sayılarını bulma.

Estimated Time:2m 0s

Question 6Question →

Bir gruptaki kişilerden İngilizce konuşanların sayısı $22$ , Almanca konuşanların sayısı $15$ 'tir. Hem İngilizce hem de Almanca konuşanların sayısı $5$ olduğuna göre, bu grupta İngilizce veya Almanca dillerinden en az birini konuşan toplam kaç kişi vardır?

17

27

32

37

42

Show answer & explanation

Answer: $32$

Answer

İngilizce veya Almanca dillerinden en az birini konuşan toplam

32

kişi vardır.

Birleşim kümesinin eleman sayısı formülü

s(İ \cup A) = s(İ) + s(A) - s(İ \cap A)

şeklindedir. Verilen

s(İ) = 22

,

s(A) = 15

ve

s(İ \cap A) = 5

değerleri formülde yerine yazıldığında

22 + 15 - 5 = 32

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

İngilizce konuşanlar kümesini

İ

, Almanca konuşanlar kümesini

A

olarak tanımlayalım. Küme birleşim formülünü yazalım.

s(İ \cup A) = s(İ) + s(A) - s(İ \cap A)

İki kümenin birleşiminin eleman sayısını bulmak için her iki kümenin eleman sayıları toplanır ve her iki kümede ortak olan (kesişim) elemanlar iki kez sayıldığı için bir kez çıkarılır.

2

Verilen değerleri (

s(İ) = 22

,

s(A) = 15

,

s(İ \cap A) = 5

) formülde yerlerine yazarak işlemi gerçekleştirelim.

s(İ \cup A) = 22 + 15 - 5 = 32

Grupta İngilizce veya Almanca dillerinden en az birini konuşan toplam kişi sayısını bulmak.

Key Concept

İki kümenin birleşiminin eleman sayısı

Estimated Time:1m 0s

Question 7Question →

Bir okul gezisinde öğrencilerden $18$ 'i arkeoloji müzesini, $14$ 'ü bilim müzesini ziyaret etmiştir. Hem arkeoloji hem de bilim müzesini ziyaret eden $6$ öğrenci olduğuna göre, bu iki müzeden en az birini ziyaret eden öğrenci sayısı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 26

Answer

İki müzeden en az birini ziyaret eden öğrenci sayısı 26'dır.

Doğru cevap olan 26 sayısı, iki müzeden en az birini ziyaret edenlerin sayısı olup, arkeoloji müzesini ziyaret eden 18 kişi ile bilim müzesini ziyaret eden 14 kişinin toplanması ve her iki müzeyi de gezen 6 kişinin bu toplamdan çıkarılmasıyla elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Kümeleri ve verilen eleman sayılarını belirleme

s(A) = 18

,

s(B) = 14

,

s(A \cap B) = 6

Problemdeki verileri küme işlemleriyle ifade etmek için.

2

Küme birleşim formülünü uygulama

s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B)

En az bir müzenin ziyaret edilmiş olması durumunun birleşim kümesine karşılık gelmesi.

3

Değerleri yerine koyarak hesaplama yapma

18 + 14 - 6 = 26

Toplama ve çıkarma işlemlerini tamamlayarak birleşim kümesinin eleman sayısını bulmak.

Key Concept

Kümelerde Birleşim İşlemi ve Eleman Sayısı Formülü

Question 8Question →

32 kişilik bir sınıftaki öğrenciler spor ve sanat kamplarından en az birine katılabileceği gibi hiçbirine katılmaya da bilir. Bu sınıfta spor kampına katılan 18, sanat kampına katılan 16 öğrenci vardır. Kamplardan sadece birine katılan öğrenci sayısı, hiçbir kampa katılmayan öğrenci sayısının 4 katıdır. Buna göre, bu kamplardan en az birine katılan öğrenci sayısı kaçtır?

20

22

25

27

29

Show answer & explanation

Answer: 27

Answer

En az bir kampa katılan öğrenci sayısı 27'dir.

Doğru cevap, en az bir kampa katılan öğrenci sayısının 27 olduğunu belirten seçenektir. Toplam 32 öğrenciden hiçbir kampa katılmayan 5 öğrenci çıkarıldığında ya da spor kampına katılan 18 ile sanat kampına katılan 16 öğrencinin toplamından her iki kampa da katılan 7 öğrenci çıkarıldığında 27 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Spor kampı kümesini

S

, sanat kampı kümesini

A

, evrensel kümeyi

U

olarak tanımlayıp bilinmeyen bölgeleri değişkenlerle ifade etmek.

|S \cap A| = x

(her iki kampa katılanlar) ve

|(S \cup A)'| = y

(hiçbir kampa katılmayanlar) olsun.

Sorudaki sözel ifadeleri matematiksel küme terimlerine dönüştürmek için.

2

Sadece bir kampa katılan öğrenci sayısını ifade eden denklemi kurmak.

Sadece spor kampına katılanlar:

18 - x

, sadece sanat kampına katılanlar:

16 - x

. Sadece bir kampa katılanler:

(18 - x) + (16 - x) = 34 - 2x

. Bu sayı hiçbir kampa katılmayanların 4 katı olduğuna göre:

34 - 2x = 4y \implies x + 2y = 17

elde edilir.

Yalnız bir kampa katılanlar ile hiçbirine katılmayanlar arasındaki oran ilişkisini denklemleştirmek için.

3

Sınıf mevcudunu kullanarak ikinci bir denklem elde etmek.

Sınıf mevcudu:

(18 - x) + (16 - x) + x + y = 32 \implies 34 - x + y = 32 \implies x - y = 2

elde edilir.

Sınıftaki tüm öğrencilerin toplamını veren denklemi oluşturmak için.

4

Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemini çözmek.

x = y + 2

ifadesini ilk denklemde yerine yazarsak:

(y + 2) + 2y = 17 \implies 3y + 2 = 17 \implies 3y = 15

bulunur. Buradan

y = 5

ve

x = 7

elde edilir.

Kesişim (

x

) ve hiçbir kampa katılmayanlar (

y

) bölgelerinin eleman sayılarını bulmak için.

5

Soruda istenen en az bir kampa katılan öğrenci sayısını (birleşim kümesini) hesaplamak.

En az bir kampa katılan öğrenci sayısı:

|S \cup A| = 32 - y = 32 - 5 = 27

olarak bulunur.

Soruda sorulan 'en az birine katılan' (birleşim) ifadesinin değerini bulmak için.

Key Concept

Kümelerde birleşim, kesişim, fark ve tümleme işlemlerini kullanarak sözel problemleri denklem sistemine dönüştürme ve çözme.

Estimated Time:2m 0s

Question 9Question →

Bir spor kulübünde tenis, yüzme ve koşu branşlarından en az birini yapan sporcular bulunmaktadır. Bu sporcuların branşlara göre dağılımıyla ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Sadece tenis branşını yapanların sayısı, yüzme branşını yapanların toplam sayısına eşittir.
* En az iki branş yapanların sayısı, sadece bir branş yapanların sayısının yarısı kadardır.
* Her üç branşı da yapan sporcu sayısı $4$ 'tür.
* Koşu branşını yapmayan sporcu sayısı $24$ 'tür.

Buna göre, bu spor kulübünde hem tenis hem de yüzme yapıp koşu yapmayan sporcu sayısı en çok kaçtır?

6

8

10

12

14

Show answer & explanation

Answer: 10

Answer

Hem tenis hem de yüzme yapıp koşu yapmayan sporcu sayısı en çok 10 olabilir.

Doğru yanıt 10'dur. Küme bölgeleri denkleştirildiğinde elde edilen

2b + 2d + e = 20

eşitliğinde,

d

değerini maksimum yapmak için

b

ve

e

değerleri en küçük (0) seçilir. Bu durumda

2d = 20

denkleminden

d = 10

bulunur. Bu değer diğer tüm koşulları ve pozitiflik şartlarını sağlar.

Step-by-Step Solution

1

Kümelerin bölgelerini harflendirerek değişkenleri tanımlayalım.

Tenis (

T

), Yüzme (

Y

) ve Koşu (

K

) kümeleri için:
* Sadece tenis yapanlar:

a

* Sadece yüzme yapanlar:

b

* Sadece koşu yapanlar:

c

* Tenis ve yüzme yapıp koşu yapmayanlar:

d

(Aranan bölge)
* Yüzme ve koşu yapıp tenis yapmayanlar:

e

* Tenis ve koşu yapıp yüzme yapmayanlar:

f

* Üçünü de yapanlar:

g = 4

Problemdeki sözel ifadeleri matematiksel denklemlere dönüştürmek için her bölgeye bir değişken atamamız gerekir.

2

Verilen koşullara göre denklemleri kuralım.

1) Sadece tenis yapanlar, yüzme yapanların toplamına eşittir:

a = b + d + e + g \implies a = b + d + e + 4

2) En az iki branş yapanlar, sadece bir branş yapanların yarısıdır:

d + e + f + g = \frac{a + b + c}{2} \implies 2(d + e + f + 4) = a + b + c

3) Koşu yapmayan sporcu sayısı 24'tür:

a + b + d = 24

Soruda verilen kısıtları cebirsel olarak ifade ederek çözüm kümesini sınırlandırmak gerekir.

3

Birinci denklemdeki

a

değerini üçüncü denklemde yerine yazalım.

(b + d + e + 4) + b + d = 24 \implies 2b + 2d + e + 4 = 24 \implies 2b + 2d + e = 20

Değişken sayısını azaltarak aradığımız

d

değişkeni ile diğer değişkenler arasındaki doğrudan ilişkiyi bulmak amaçlanır.

4

d

değerini en büyük yapmak için kısıtları inceleyelim.

2d = 20 - 2b - e

Sporcu sayıları negatif olamayacağından

b \ge 0

ve

e \ge 0

olmalıdır.

d

değerinin maksimum olması için

2b + e

toplamı en küçük seçilmelidir. Bu toplam en az

0

olabilir (

b = 0, e = 0

).
Bu durumda

2d = 20 \implies d = 10

bulunur.

Doğal sayı kısıtlamalarını kullanarak en büyük olası tam sayı değerini belirlemek gerekir.

5

Bulunan değerlerin diğer denklemlerle çelişip çelişmediğini kontrol edelim.

b = 0

,

e = 0

,

d = 10

için

a = 14

olur. İkinci denklemde yerine yazıldığında:

2(10 + 0 + f + 4) = 14 + 0 + c \implies 28 + 2f = 14 + c \implies c = 14 + 2f

elde edilir.

f = 0

seçilirse

c = 14

olur. Tüm değişkenler negatif olmayan tam sayılar olduğundan bu çözüm geçerlidir.

Bulunan sınır değerinin küme kuralları çerçevesinde evrensel olarak tutarlı bir çözüm üretip üretmediğini doğrulamak gerekir.

Key Concept

Küme problemlerinde sözel verilerin Venn şeması bölgelerine göre harflendirilerek denklem sistemine dönüştürülmesi ve bu sistemin en büyük/en küçük değer kısıtları altında çözülmesi.

Question 10Question →

Bir teknoloji firmasında çalışan $30$ yazılımcının her biri Python veya Java programlama dillerinden en az birini bilmektedir. Bu yazılımcılardan $18$ 'i Python, $15$ 'i ise Java bilmektedir.

Buna göre, bu firmada hem Python hem de Java bilen yazılımcı sayısı kaçtır?

15

3

12

33

6

Show answer & explanation

Answer: 3

Answer

Her iki programlama dilini de bilen yazılımcı sayısı 3'tür.

Her iki dili de bilenlerin sayısını bulmak için iki kümenin birleşim formülü olan

s(P \cup J) = s(P) + s(J) - s(P \cap J)

kullanılır. Formülde verilen değerler yerine yazıldığında

30 = 18 + 15 - s(P \cap J)

eşitliği elde edilir. Buradan

s(P \cap J) = 3

olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Python bilen yazılımcıların kümesini

P

, Java bilen yazılımcıların kümesini

J

olarak belirleyelim.

Gruptaki herkes en az bir dil bildiği için birleşim kümesinin eleman sayısı

s(P \cup J) = 30

'dur. Python bilenlerin sayısı

s(P) = 18

, Java bilenlerin sayısı

s(J) = 15

olarak verilmiştir.

Soruda verilen sözel ifadeleri küme sembollerine aktarmak ve gerekli verileri listelemek için.

2

Kümelerde birleşim kümesinin eleman sayısı formülünü yazalım:

s(P \cup J) = s(P) + s(J) - s(P \cap J)

Formülde bilinen değerleri yerine yerleştirdiğimizde:

30 = 18 + 15 - s(P \cap J)

denklemi elde edilir.

Birleşim, kesişim ve tekil kümelerin eleman sayıları arasındaki ilişkiyi kurmak için.

3

Elde edilen denklemi çözerek kesişim kümesinin eleman sayısı olan

s(P \cap J)

değerini yalnız bırakalım.

30 = 33 - s(P \cap J) \Rightarrow s(P \cap J) = 33 - 30 = 3

bulunur.

Her iki dili de bilen yazılımcı sayısına ulaşmak için.

Key Concept

İki kümenin birleşim ve kesişim eleman sayıları arasındaki ilişkiyi kullanarak küme problemlerini çözme.

Estimated Time:1m 0s

Question 11Question →

Bir dijital yayın platformuna üye olan 60 kişilik bir grupta; sinema, spor ve belgesel paketlerinden en az birine üye olunmaktadır. Bu gruptaki paket üyelikleriyle ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Sinema paketine üye olan herkes spor paketine de üyedir.
* Sadece belgesel paketine üye olanların sayısı, spor paketine üye olanların sayısının yarısıdır.
* Hem spor hem de belgesel paketine üye olan 8 kişi vardır.
* Sinema paketine üye olan ve belgesel paketine üye olmayan kişi sayısı 12'dir.

Buna göre, bu grupta sadece spor paketine üye olan kaç kişi vardır?

Show answer & explanation

Answer: 20

Answer

Sadece spor paketine üye olan kişi sayısı 20'dir.

Gruptaki herkes en az bir pakete üye olduğundan, grubun tamamı spor paketine üye olanlar ile sadece belgesel paketine üye olanların toplamından oluşur. Sadece belgesel alanların sayısı spor alanların yarısı olduğundan, spor alanların sayısı 40 ve sadece belgesel alanların sayısı 20'dir. Spor paketine üye olan 40 kişi; sadece spor alanlar, sinema paketine üye olup belgesel almayanlar (12 kişi) ve hem spor hem belgesel alanlar (8 kişi) şeklinde ayrılır. Buradan sadece spor alanların sayısı 40 - 12 - 8 = 20 olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Kümeleri tanımlama ve birleşim kümesinin eleman sayısını belirleme.

Grup mevcudu

s(C \cup S \cup D) = 60

kişidir. Sinema kümesi

C

, spor kümesi

S

, belgesel kümesi

D

olsun.

Soruda verilen toplam kişi sayısı ile küme birleşimini ilişkilendirmek için.

2

Alt küme ilişkisini belirleme.

C \subseteq S

Sinema paketine üye olan herkesin spor paketine de üye olduğu belirtildiği için.

3

Spor paketine üye olan toplam kişi sayısını bulma.

s(S) = 40

Sadece belgesel alanların sayısı spor alanların yarısıdır ve gruptaki herkes en az bir pakete üye olduğundan

s(S) + \frac{s(S)}{2} = 60

denkleminden.

4

Spor kümesini alt bölgelerine ayırarak sadece spor paketine üye olanları hesaplama.

Sadece spor alanlar = 20 kişi.

Spor alanların kümesi; sadece spor alanlar, sinema alıp belgesel almayanlar (12 kişi) ve hem spor hem belgesel alanlar (8 kişi) bölgelerinden oluştuğu için

40 = \text{(Sadece spor)} + 12 + 8

denkleminden.

Key Concept

Alt küme ilişkisi içeren üçlü küme problemlerinde bölgelerin denklemlerle modellenmesi ve çözülmesi.

Question 12Question →

Bir kafede bulunan $40$ müşterinin her biri çay veya kahve ikramlarından en az birini almıştır. Bu kafede çay alan müşteri sayısı $28$ , hem çay hem de kahve alan müşteri sayısı ise $12$ 'dir.

Buna göre, bu kafede sadece kahve alan müşteri sayısı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 12

Answer

Sadece kahve alan müşteri sayısı 12'dir.

Çay içenlerin kümesi ile sadece kahve içenlerin kümesi ayrık kümelerdir ve birleşimleri tüm grubu oluşturur. Dolayısıyla gruptaki toplam kişi sayısından çay içenlerin sayısı çıkarıldığında sadece kahve içenlerin sayısı 12 olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Kümeleri tanımlama ve verilen değerleri belirleme

Çay alanlar

Ç

, kahve alanlar

K

olmak üzere;

s(Ç \cup K) = 40

,

s(Ç) = 28

ve

s(Ç \cap K) = 12

olur.

Sorudaki sözel ifadeleri küme sembollerine dönüştürmek için.

2

Sadece kahve alanların eleman sayısını veren bağıntıyı kurma

s(Ç \cup K) = s(Ç) + s(K \setminus Ç)

bağıntısı elde edilir.

Çay alanlar ile sadece kahve alanların toplamı, en az birini alan tüm müşterilerin sayısını (birleşimi) verir.

3

Değerleri yerine yazarak bilinmeyeni hesaplama

40 = 28 + s(K \setminus Ç) \implies s(K \setminus Ç) = 12

bulunur.

Sadece kahve alanların sayısını bulmak için toplama işleminden yararlanılır.

Key Concept

İki kümenin birleşim ve fark işlemlerini kullanarak sözel problemleri çözme.

Question 13Question →

Bir teknoloji mağazasında akıllı termostat ( $T$ ), akıllı kamera ( $K$ ) ve akıllı kilit ( $L$ ) ürünlerinden en az birini satın alan müşteriler arasında bir memnuniyet anketi yapılmıştır. Ankete katılan müşteriler ile ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* Yalnızca akıllı termostat satın alanların sayısı, akıllı kilit satın alanların toplam sayısına eşittir.
* Bu üç üründen en az ikisini satın alanların sayısı, yalnızca akıllı kamera satın alanların sayısının $2$ katıdır.
* En çok bir ürün satın alanların sayısı, en az bir ürün satın alanların sayısının $\frac{2}{3}$ 'üdür.
* Yalnızca akıllı kamera satın alanların sayısı, yalnızca akıllı kilit satın alanların sayısından $2$ fazladır.
* Her üç ürünü de satın alanların sayısı $6$ 'dır ve bu sayı yalnızca akıllı termostat ve akıllı kamera satın alanların sayısından $2$ fazladır.

Buna göre, bu ankete katılan toplam müşteri sayısı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 48

Answer

Ankete katılan toplam müşteri sayısı 48'dir.

Verilen oranlar ve bölge tanımlamaları doğrultusunda, tüm küme elemanları tek bir değişkene (yalnızca kamera satın alanların sayısı olan

b

değişkenine) indirgenmiştir. Buradan elde edilen

b = 8

değeriyle toplam müşteri sayısının

6b = 48

olduğu kesin olarak ispatlanmıştır.

Step-by-Step Solution

1

Kümeleri ve bölgeleri değişkenler kullanarak tanımlama

Müşterilerin aldıkları ürünlere göre küme bölgelerini belirleyelim:
- Yalnızca

T

satın alanlar:

a

- Yalnızca

K

satın alanlar:

b

- Yalnızca

L

satın alanlar:

c

- Yalnızca

T

ve

K

satın alanlar:

d

- Yalnızca

K

ve

L

satın alanlar:

e

- Yalnızca

T

ve

L

satın alanlar:

f

- Her üçünü de satın alanlar:

g = 6

Toplam müşteri sayısı

N = a + b + c + d + e + f + g

olur.

Soruda verilen sözel ifadeleri cebirsel denklemlere dökebilmek için küme bölgelerini harflendirmemiz gerekir.

2

Verilen oranları kullanarak toplam müşteri sayısı

N

ile yalnızca kamera alanların sayısı

b

arasındaki ilişkiyi kurma

En çok bir ürün alanların sayısı:

a + b + c

En az bir ürün alanların sayısı (toplam müşteri sayısı):

N

Verilen bilgiye göre:

a + b + c = \frac{2}{3} N

Bu durumda, en az iki ürün alanların sayısı:

d + e + f + g = \frac{1}{3} N \implies N = 3(d + e + f + g)

olur.
Diğer yandan, en az iki ürün alanların sayısı, yalnızca akıllı kamera satın alanların sayısının

2

katı olduğundan:

d + e + f + g = 2b

yazılır.
Bu iki eşitliği birleştirdiğimizde:

\frac{1}{3} N = 2b \implies N = 6b

elde edilir.

Farklı bölge gruplarının oranlarını tek bir değişken (

b

) üzerinden ifade edebilmek için.

3

Tekli bölgeleri yalnızca kamera satın alanların sayısı

b

cinsinden ifade etme

Yalnızca kamera alanların sayısı (

b

), yalnızca kilit alanların sayısından (

c

)

2

fazla ise:

b = c + 2 \implies c = b - 2

olur.
En çok bir ürün alanların toplamı:

a + b + c = \frac{2}{3} N = \frac{2}{3}(6b) = 4b

dir.
Burada

c = b - 2

yazarsak:

a + b + (b - 2) = 4b \implies a + 2b - 2 = 4b \implies a = 2b + 2

elde edilir.

Bilinmeyen sayısını azaltarak tek bir değişkene bağlı denklem oluşturmak için.

4

Küme eşitliği ve kesişim bölgelerini düzenleme

Her üç ürünü de satın alanlar:

g = 6

kişi.
Bu sayı yalnızca

T

ve

K

alanlardan

2

fazla olduğundan:

6 = d + 2 \implies d = 4

kişi.
Yalnızca akıllı termostat satın alanların sayısı (

a

), akıllı kilit satın alanların toplam sayısına (

s(L) = c + e + f + g

) eşit olduğundan:

a = c + e + f + g

Bulduğumuz ifadeleri yerine yazalım:

2b + 2 = (b - 2) + e + f + 6 \implies 2b + 2 = b + 4 + e + f \implies e + f = b - 2

elde edilir.

Akıllı kilit satın alanların kümesinin tamamını hesaba katarak bilinmeyen kesişim bölgelerinin toplamını bulmak için.

5

Denklemleri birleştirip

b

ve

N

değerlerini hesaplama

En az iki ürün alanların toplamı formülünü kullanalım:

d + e + f + g = 2b

Bildiğimiz değerleri yerine yazalım (

d = 4

,

g = 6

,

e + f = b - 2

):

4 + (b - 2) + 6 = 2b \implies b + 8 = 2b \implies b = 8

bulunur.
Toplam müşteri sayısı ise:

N = 6b = 6 \times 8 = 48

olarak hesaplanır.

Tüm ara değerleri bir araya getirerek kesin sayısal sonucu elde etmek için.

Key Concept

Cebirsel Modelleme ile Üçlü Küme Problemlerinin Çözümü

Question 14Question →

Bir araştırma merkezinde çalışan $45$ bilim insanının tamamı; Astrobiyoloji, Jeokimya ve Klimatoloji laboratuvarlarının en az birinde görev yapmaktadır.

Bu araştırmacılarla ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:
* Klimatoloji laboratuvarında çalışanların sayısı, Jeokimya laboratuvarında çalışanların sayısının $2$ katıdır.
* Sadece iki laboratuvarda çalışan araştırmacıların toplam sayısı, sadece bir laboratuvarda çalışan araştırmacıların toplam sayısının yarısıdır.
* Her üç laboratuvarda da çalışan araştırmacı sayısı, sadece Astrobiyoloji laboratuvarında çalışan araştırmacı sayısına eşittir.
* Astrobiyoloji laboratuvarında çalışıp Klimatoloji laboratuvarında çalışmayan araştırmacı sayısı $12$ 'dir.
* Klimatoloji ve Jeokimya laboratuvarlarının her ikisinde de çalışıp Astrobiyoloji laboratuvarında çalışmayan araştırmacı sayısı ile Astrobiyoloji ve Jeokimya laboratuvarlarının her ikisinde de çalışıp Klimatoloji laboratuvarında çalışmayan araştırmacı sayısı birbirine eşittir.
* Laboratuvarların herhangi ikisinde çalışıp üçüncüsünde çalışmayan araştırmacı sayıları sıfırdan farklıdır.

Buna göre, bu araştırmacılardan kaç tanesi sadece Klimatoloji laboratuvarında çalışmaktadır?

Show answer & explanation

Answer: 14

Answer

Sadece Klimatoloji laboratuvarında çalışan araştırmacı sayısı 14'tür.

Verilen sözel kısıtlar denklem sistemine döküldüğünde ve eleman sayılarının pozitif tam sayı olması ile kesişim bölgelerinin sıfırdan büyük olması şartları uygulandığında, tüm bölgelerin eleman sayıları benzersiz şekilde belirlenir. Bu doğrultuda sadece Klimatoloji laboratuvarında çalışan araştırmacı sayısı 14 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Kümeleri ve bölgeleri harflendirerek toplam mevcut denklemini kurmak

Astrobiyoloji (

A

), Jeokimya (

J

) ve Klimatoloji (

K

) kümeleri için bölgeleri tanımlayalım: Sadece bir laboratuvarda çalışanlar

a, j, k

; sadece iki laboratuvarda çalışanlar

x, y, z

; her üçünde çalışanlar

t

olsun. Toplam mevcut:

a + j + k + x + y + z + t = 45

olur.

Soruda verilen küme ilişkilerini cebirsel olarak ifade edebilmek için.

2

Verilen oranları ve kısıtları denklemlerle eşleştirmek

a + j + k = 2(x + y + z)

olduğundan ana denklemde yerine yazılırsa:

3(x + y + z) + t = 45

elde edilir. Ayrıca,

t = a

,

a + x = 12 \implies x = 12 - t

ve

y = x \implies y = 12 - t

eşitlikleri bulunur.

Bilinmeyen sayısını azaltarak ortak bir denklem elde etmek için.

3

Elde edilen eşitlikleri ana denklemde yerine koyup sadeleştirmek

3(12 - t + 12 - t + z) + t = 45 \implies 3(24 - 2t + z) + t = 45 \implies 72 - 5t + 3z = 45 \implies 3z = 5t - 27

bağıntısı elde edilir.

z

ve

t

değişkenleri arasındaki doğrusal ilişkiyi belirlemek için.

4

Tam sayı ve pozitiflik kısıtlarını kullanarak tekil çözümü bulmak

Herhangi iki laboratuvarda çalışanların sayısı sıfırdan farklı olduğu için

x = 12 - t > 0 \implies t < 12

ve

z = \frac{5t-27}{3} > 0 \implies t > 5.4

olmalıdır. Bu aralıkta (

6 \le t \le 11

)

5t - 27

ifadesini 3'ün katı yapan tek değer

t = 9

'dur. Buradan

a = 9

,

x = 3

,

y = 3

,

z = 6

bulunur.

Kümelerin eleman sayılarının pozitif tam sayı olma kısıtını uygulamak için.

5

Kalan değişkenler için iki bilinmeyenli denklem sistemini çözmek

a + j + k = 2(x + y + z) \implies 9 + j + k = 24 \implies j + k = 15

olur. Klimatoloji çalışanları (

k + y + z + t

), Jeokimya çalışanlarının (

j + x + y + t

) 2 katı olduğundan:

k + 3 + 6 + 9 = 2(j + 3 + 3 + 9) \implies k + 18 = 2j + 30 \implies k - 2j = 12

elde edilir. Bu iki denklemin ortak çözümünden

j = 1

ve

k = 14

bulunur.

İstenen sadece Klimatoloji laboratuvarında çalışanların sayısına (

k

) ulaşmak için.

Key Concept

Küme problemlerinde alt küme bölgelerinin harflendirilerek denklem sistemine dönüştürülmesi ve tam sayı kısıtları altında çözülmesi.

Question 15Question →

Bir yaz kampında bulunan 25 çocuğun her biri okçuluk veya yüzme kurslarından en az birine katılmıştır. Bu kampta okçuluk kursuna katılan çocuk sayısı, yüzme kursuna katılan çocuk sayısının 2 katıdır.

Her iki kursa da katılan çocuk sayısı 5 olduğuna göre, sadece okçuluk kursuna katılan çocuk sayısı kaçtır?

5

10

15

20

25

Show answer & explanation

Answer: 15

Answer

Sadece okçuluk kursuna katılan çocuk sayısı 15'tir.

Sadece okçuluk kursuna katılanların sayısı 15, sadece yüzme kursuna katılanların sayısı 5 ve her iki kursa katılanların sayısı 5 alındığında toplam çocuk sayısı 25 olmaktadır. Ayrıca okçuluk kursuna katılan toplam kişi sayısı 15 + 5 = 20, yüzme kursuna katılan toplam kişi sayısı 5 + 5 = 10 olup, okçuluk kursuna katılanlar yüzme kursuna katılanların tam 2 katıdır. Bu durum tüm koşulları sağladığı için doğru cevap 15'tir.

Step-by-Step Solution

1

Kümeleri ve bilinmeyenleri tanımlama

Okçuluk kursuna katılanların kümesi

O

, yüzme kursuna katılanların kümesi

Y

olsun. Sadece okçuluk kursuna katılan çocuk sayısı

x

, sadece yüzme kursuna katılan çocuk sayısı

y

ve her iki kursa da katılan çocuk sayısı ise

s(O \cap Y) = 5

olarak verilir.

Soruda verilen sözel ifadeleri matematiksel denklemlere dönüştürmek için uygun değişkenler belirlenir.

2

Toplam çocuk sayısına göre denklem kurma

Kamptaki her çocuk en az bir kursa katıldığı için toplam çocuk sayısı:

x + y + 5 = 25 \implies x + y = 20

olur.

Kamptaki tüm çocukların birleşim kümesinin eleman sayısı olduğu bilgisi kullanılır.

3

Kurs katılım oranlarına göre ikinci denklemi kurma ve çözme

Okçuluk kursuna katılan toplam çocuk sayısı

s(O) = x + 5

, yüzme kursuna katılan toplam çocuk sayısı

s(Y) = y + 5

olur. Soruda

s(O) = 2 \cdot s(Y)

olarak verildiğinden:

x + 5 = 2(y + 5) \implies x + 5 = 2y + 10 \implies x - 2y = 5

elde edilir.

Okçuluk kursuna katılanların sayısının, yüzme kursuna katılanların sayısının 2 katı olduğu bilgisi kullanılarak ikinci bağıntı kurulur.

4

Denklem sistemini çözerek istenen değeri bulma

x + y = 20

ve

x - 2y = 5

denklemleri ortak çözülür. İlk denklemden ikinci denklem çıkarılırsa:

3y = 15 \implies y = 5

bulunur. Buradan

x = 20 - 5 = 15

elde edilir.

Sadece okçuluk kursuna katılanların sayısı olan

x

değerine ulaşılır.

Key Concept

İki kümenin birleşim, kesişim ve fark işlemlerini kullanarak sözel problemleri denklem sistemine dönüştürme ve çözme.

Estimated Time:1m 0s

Question 16Question →

Bir turizm acentesi ile seyahat eden $50$ turistin her biri İtalya veya Fransa turlarından en az birine katılmıştır. Bu turistlerden İtalya turuna katılanların sayısı $32$ , Fransa turuna katılanların sayısı $27$ 'dir. Buna göre, her iki ülkenin de turuna katılan turist sayısı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 9

Answer

Her iki ülkenin de turuna katılan turist sayısı 9'dur.

İtalya turuna katılanlar ile Fransa turuna katılanların toplamı

32 + 27 = 59

kişidir. Ancak grupta toplam

50

turist bulunduğundan ve her turist en az bir tura katıldığından, aradaki fark her iki tura da katılan kişileri gösterir:

59 - 50 = 9

.

Step-by-Step Solution

1

Verilen bilgileri küme eleman sayıları cinsinden ifade etmek.

s(İ \cup F) = 50

,

s(İ) = 32

,

s(F) = 27

Problemi küme kuralları ile çözebilmek amacıyla matematiksel modele dönüştürmek.

2

Birleşim kümesinin eleman sayısı formülünü uygulamak.

50 = 32 + 27 - s(İ \cap F)

Birleşim, kesişim ve tekil kümelerin eleman sayıları arasındaki ilişkiyi kurmak.

3

Kesişim kümesinin eleman sayısını çekmek için denklem çözmek.

s(İ \cap F) = 9

Her iki tura da katılan ortak elemanların (turistlerin) sayısını belirlemek.

Key Concept

İki Kümenin Birleşim Formülü

Question 17Question →

Bir seyahat acentesiyle tura katılan $60$ turistten her biri Efes ( $E$ ), Kapadokya ( $K$ ) ve Pamukkale ( $P$ ) bölgelerinden en az birini ziyaret etmiştir. Bu turistlerin ziyaret ettikleri bölgelerle ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Efes'i ziyaret eden turist sayısı, Kapadokya'yı ziyaret eden turist sayısından $8$ fazladır.
* Pamukkale'yi ziyaret eden turist sayısı, sadece Kapadokya'yı ziyaret eden turist sayısının $4$ katıdır.
* En az iki bölgeyi ziyaret eden turist sayısı $22$ 'dir.
* Her üç bölgeyi de ziyaret eden turist sayısı $4$ 'tür.
* Sadece Efes'i ve sadece Pamukkale'yi ziyaret eden turist sayıları birbirine eşittir.

Buna göre, sadece Kapadokya'yı ziyaret eden turist sayısı kaçtır?

6

8

10

12

13

Show answer & explanation

Answer: $8$

Answer

Sadece Kapadokya'yı ziyaret eden turist sayısı

8

'dir.

Doğru cevap, sadece Kapadokya'yı ziyaret edenlerin sayısının

8

olduğunu belirten seçenektir. Küme bölgeleri değişkenlerle ifade edilip verilen koşullar uygulandığında, bölgelerin eleman sayılarının negatif olmama ve tam sayı olma koşullarından sadece

8

değeri tüm denklemleri ve fiziksel sınırları sağlar.

Step-by-Step Solution

1

Seyahat eden turistlerin bölgelerini gösteren bir Venn şeması çizerek bölgeleri harflendirelim.

Sadece Efes'i ziyaret edenler

e

, sadece Kapadokya'yı ziyaret edenler

k

, sadece Pamukkale'yi ziyaret edenler

p

olsun. Sadece iki bölgeyi ziyaret edenler

ek

,

kp

,

ep

ve üç bölgeyi de ziyaret edenler

ekp = 4

olarak belirlenir.

Problemi cebirsel denklemlere dökebilmek için her bölgeye bir değişken atamamız gerekir.

2

Toplam turist sayısı ve en az iki bölgeyi ziyaret eden turist sayısı bilgilerini kullanarak temel denklemleri yazalım.

e + k + p + ek + kp + ep + 4 = 60

ve

ek + kp + ep + 4 = 22 \implies ek + kp + ep = 18

bulunur. Buradan

e + k + p + 22 = 60 \implies e + k + p = 38

elde edilir.

Bölgelerin toplamı ile kesişim eleman sayıları arasındaki ilişkileri sadeleştirmek amacıyla bu denklemler kurulur.

3

Sadece Efes ve sadece Pamukkale'yi ziyaret edenlerin eşitliği (

e = p

) ile diğer koşulları birleştirip değişkenleri tek bir bilinmeyen olan

k

cinsinden ifade edelim.

2e + k = 38 \implies e = 19 - 0,5k

olur.

P = 4k

ve

E = K + 8

denklemlerinden sırasıyla

ep = 3k - 17

,

kp = 1,5k - 6

ve

ek = 41 - 4,5k

bağıntıları elde edilir.

Tüm bölge eleman sayılarını tek bir değişken (

k

) cinsinden yazarak çözüm kümesini sınırlandırmak hedeflenir.

4

Bölgelerin eleman sayılarının negatif olamayacağı (

ek \ge 0

,

kp \ge 0

,

ep \ge 0

) ve tam sayı olması gerektiği koşulunu uygulayarak

k

değerini bulalım.

kp = 1,5k - 6

ifadesinin tam sayı olması için

k

çift olmalıdır. Ayrıca

ep = 3k - 17 \ge 0 \implies k \ge 5,67

ve

ek = 41 - 4,5k \ge 0 \implies k \le 9,11

sınırları elde edilir. Bu aralıktaki tek çift tam sayı

k = 8

'dir.

Bir kümenin eleman sayısı negatif olamayacağından ve mutlaka bir tam sayı olması gerektiğinden bu sınır koşulları tek bir çözüm üretir.

Key Concept

Küme problemlerinde Venn şeması bölgelerinin değişkenler yardımıyla modellenmesi ve tam sayı sınır koşullarının analizi.

Question 18Question →

Bir okuma kulübündeki $32$ üyenin tamamı bilimkurgu veya polisiye romanlarından en az birini okumaktadır. Bu kulüpte bilimkurgu romanı okuyan üye sayısı $20$ , polisiye romanı okuyan üye sayısı ise $18$ 'dir. Buna göre, bu kulüpte hem bilimkurgu hem de polisiye romanı okuyan kaç üye vardır?

2

6

8

12

14

Show answer & explanation

Answer: 6

Answer

Her iki romanı da okuyan üye sayısı 6'dır.

Bilimkurgu okuyanların sayısı ile polisiye okuyanların sayısının toplamı olan 38 değeri, toplam üye sayısı olan 32'den çıkarıldığında hem bilimkurgu hem de polisiye okuyan 6 kişiye ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Kümelerle ilgili birleşim formülünü oluşturmak.

s(B \cup P) = s(B) + s(P) - s(B \cap P)

formülü kullanılır. Burada B bilimkurgu, P polisiye okuyanların kümesidir.

Toplam üye sayısı, iki ayrı kümenin eleman sayılarının toplamından her iki kitabı da okuyanların (kesişim kümesi) çıkarılmasına eşittir.

2

Verilen sayısal değerleri formülde yerine yazarak bilinmeyeni çekmek.

32 = 20 + 18 - s(B \cap P)

eşitliğinden

32 = 38 - s(B \cap P)

elde edilir. Buradan

s(B \cap P) = 6

bulunur.

Her iki türü de okuyan ortak üyeler iki defa sayıldığı için toplam sayıdan farkı alınarak ortak üye sayısı elde edilir.

Key Concept

İki kümenin birleşiminin eleman sayısı formülü ve küme problemleri uygulaması

Alternative Method

Venn şeması çizilerek kesişim kümesine 'x' denir. Bilimkurgu bölgesi '20 - x', polisiye bölgesi '18 - x' olarak yazılır. Tüm bölgelerin toplamı (20 - x) + x + (18 - x) = 32 denklemine eşitlenerek x = 6 bulunur.

Estimated Time:1m 0s

Question 19Question →

Bir halk eğitim merkezinde açılan Ahşap Boyama, Seramik ve Sepet Örücülüğü kurslarına katılan toplam $80$ kursiyer ile ilgili aşağıdaki bilgiler bilinmektedir:

* Her bir kursiyer bu üç kurstan en az birine katılmaktadır.
* Yalnız bir kursa katılan kursiyer sayısı, en az iki kursa katılan kursiyer sayısının $3$ katıdır.
* En çok iki kursa katılan kursiyer sayısı $75$ 'tir.

Buna göre, bu halk eğitim merkezinde yaln��z iki kursa katılan kursiyer sayısı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 15

Answer

Yalnız iki kursa katılan kursiyer sayısı 15'tir.

Toplam 80 kursiyer bulunmaktadır. Yalnız 1 kursa katılanlar

a

, yalnız 2 kursa katılanlar

b

, 3 kursa katılanlar

c

olmak üzere;

a + b + c = 80

olur. 'Yalnız bir kursa katılanlar, en az iki kursa katılanların 3 katı' olduğundan

a = 3(b+c)

yazılır. Buradan

4(b+c) = 80 \Rightarrow b+c = 20

ve

a = 60

bulunur. 'En çok iki kursa katılanlar'

a+b = 75

olduğuna göre,

60+b=75

eşitliğinden yalnız iki kursa katılanların sayısı

b=15

olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Katılımcı sayılarını bölgelere göre değişkenlerle ifade etme.

Yalnız 1 kursa katılanlar:

a

, yalnız 2 kursa katılanlar:

b

, 3 kursa katılanlar:

c

Kümelerin kesişim bölgelerini gruplandırarak cebirsel ifadeler oluşturmak için.

2

Verilen toplam katılımcı sayısını denklem haline getirme.

a + b + c = 80

Her kursiyerin en az bir kursa katıldığı bilgisini kullanmak için.

3

En az iki kursa katılanlar ile yalnız bir kursa katılanlar arasındaki ilişkiyi kullanarak

a

ve

b+c

değerlerini bulma.

b + c = 20

ve

a = 60

a = 3(b + c)

eşitliğini

a + b + c = 80

denkleminde yerine koyarak bilinmeyen sayısını azaltmak için.

4

En çok iki kursa katılanlar bilgisinden yararlanarak yalnız iki kursa katılanların sayısını (

b

) hesaplama.

b = 15

a + b = 75

denkleminde

a = 60

yazarak

b

değerini çekmek için.

Key Concept

Kümelerde bölge belirleme ve denklem kurma yoluyla küme problemlerini çözme.

Question 20Question →

Bir mahallede yapılan çevre düzenleme çalışmasında mahalle sakinleri fidan dikme ( $F$ ), çiçek ekme ( $C$ ) ve duvar boyama ( $B$ ) faaliyetlerinden en az birine katılmıştır. Bu çalışmaya katılan toplam sakin sayısı $68$ 'dir.

Bu faaliyetlere katılım durumlarıyla ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:
- Her üç faaliyete de katılan sakin sayısı $4$ 'tür.
- Fidan dikip çiçek eken fakat duvar boyamayan sakin sayısı ile duvar boyayıp çiçek eken fakat fidan dikmeyen sakin sayısı birbirine eşittir.
- Duvar boyayıp fidan diken fakat çiçek ekmeyen sakin sayısı $6$ 'dır.
- Sadece iki faaliyete katılan toplam sakin sayısı $18$ 'dir.
- Fidan dikme faaliyetine katılan sakin sayısı, sadece çiçek eken sakin sayısının $2$ katıdır.
- Duvar boyama faaliyetine katılan sakin sayısı, sadece fidan diken sakin sayısının $3$ katıdır.

Buna göre, bu çalışmada duvar boyama faaliyetine katılan toplam sakin sayısı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 36

Answer

Duvar boyama faaliyetine katılan toplam sakin sayısı 36'dır.

Soruda verilen küme ilişkileri cebirsel olarak modellendiğinde, sadece fidan diken sakin sayısı (a) 12 olarak bulunur. Duvar boyama faaliyetine katılan sakin sayısı, sadece fidan dikenlerin 3 katı olarak verildiğinden 3 * 12 = 36 elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Sadece iki faaliyete katılan sakinlerin sayısından yola çıkarak ikişerli kesişim bölgelerinin eleman sayılarını belirlemek.

d = e = 6

ve

f = 6

olarak bulunur.

Sadece iki faaliyete katılan sakin sayısı

18

olarak verilmiştir. Kesişim bölgelerinden

f = 6

ve diğer iki bölge eşit (

d = e

) olduğundan

2d + 6 = 18

eşitliğinden

d = e = 6

elde edilir.

2

Toplam sakin sayısını kullanarak sadece tek bir faaliyete katılan sakinlerin toplam sayısını (

a + b + c

) bulmak.

a + b + c = 46

olarak bulunur.

Tüm bölgelerin toplamı

68

'dir. İkişerli kesişimlerin toplamı (

18

) ve üçlü kesişim (

4

) toplam sakin sayısından çıkarıldığında

68 - 18 - 4 = 46

bulunur.

3

Verilen oranları cebirsel olarak ifade edip tek bilinmeyenli denklem kurarak sadece fidan dikenlerin sayısını (

a

) bulmak.

a = 12

olarak bulunur.

s(F) = a + 16 = 2b

ve

s(B) = c + 16 = 3a

eşitliklerinden

b = \frac{a+16}{2}

ve

c = 3a - 16

yazılır. Bu değerler

a + b + c = 46

denkleminde yerine konduğunda

9a = 108 \implies a = 12

elde edilir.

4

Bulunan

a

değerini kullanarak duvar boyama faaliyetine katılan toplam sakin sayısını (

s(B)

) hesaplamak.

s(B) = 36

olarak bulunur.

Boyama faaliyetine katılan toplam sakin sayısı

s(B) = 3a

olarak tanımlanmıştır.

a = 12

değeri yerine yazıldığında

3 \times 12 = 36

elde edilir.

Key Concept

Küme Problemlerinde Venn Şeması ve Cebirsel Modelleme

Estimated Time:2m 0s

Küme Problemleri

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes