Examkin

Question

Difficulty: HardFonksiyon Kavramı ve Tanım Kümesi

R\mathbb{R} gerçel sayılar kümesi olmak üzere, f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} tanımlı f(x)=1x2−ax+4f(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 - ax + 4}} bağıntısının bir fonksiyon belirtmesi için aa gerçel sayısının alabileceği en geniş değer aralığı (−4,4)(-4, 4) açık aralığıdır.

Answer: Answer

Answer

Verilen bağıntının R\mathbb{R}'den R\mathbb{R}'ye bir fonksiyon belirtmesi için her x∈Rx \in \mathbb{R} için tanımlı olması gerekir. Bu da paydadaki kareköklü ifadenin tanımlı ve sıfırdan farklı olması, yani x2−ax+4>0x^2 - ax + 4 > 0 eşitsizliğinin her xx gerçel sayısı için sağlanması demektir. Baş katsayısı pozitif olan bu ifadenin daima pozitif olması için diskriminantı sıfırdan küçük olmalıdır (Δ<0\Delta < 0). Δ=a2−16<0\Delta = a^2 - 16 < 0 eşitsizliğinden aa sayısının (−4,4)(-4, 4) açık aralığ��nda olması gerektiği bulunur. Dolayısıyla verilen ifade doğrudur.
Verilen bağıntının R\mathbb{R} üzerinde tanımlı bir fonksiyon belirtmesi için paydadaki kareköklü ifadenin içi daima pozitif olmalıdır. Bu durum diskriminantın sıfırdan küçük olmasıyla (a2−16<0a^2 - 16 < 0) mümkündür ve buradan a∈(−4,4)a \in (-4, 4) elde edilir. Bu sebeple ifade doğrudur.

Step-by-Step Solution

1
Fonksiyon olma şartını analiz etme
Tanım kümesi R\mathbb{R} ve değer kümesi R\mathbb{R} olan bir ff bağıntısının fonksiyon belirtebilmesi için her x∈Rx \in \mathbb{R} için f(x)f(x) değerinin tanımlı ve bir gerçel sayı olması gerekir.
Fonksiyon tanımı gereği tanım kümesinde eşleşmeyen hiçbir eleman kalmamalıdır.
2
Tanımlılık şart��nı cebirsel olarak ifade etme
f(x)=1x2−ax+4f(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 - ax + 4}} ifadesinin tanımlı olması için x2−ax+4>0x^2 - ax + 4 > 0 olmalıdır.
Çift dereceden köklü ifadelerin içi negatif olamaz ve rasyonel ifadelerin paydası sıfır olamaz.
3
Eşitsizliğin her xx için sağlanma koşulunu (daima pozitiflik) uygulama
x2−ax+4>0x^2 - ax + 4 > 0 ifadesinin her x∈Rx \in \mathbb{R} için sağlanması için baş katsayısı 1>01 > 0 olduğundan diskriminantı Δ<0\Delta < 0 olmalıdır.
Parabolün xx eksenini kesmemesi ve daima eksenin üzerinde kalması gerekir.
4
Diskriminantı hesaplama ve aa değer aralığını bulma
Δ=(−a)2−4⋅1⋅4=a2−16<0  ⟹  a2<16  ⟹  −4<a<4\Delta = (-a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = a^2 - 16 < 0 \implies a^2 < 16 \implies -4 < a < 4. En geniş değer aralığı (−4,4)(-4, 4) açık aralığıdır.
Eşitsizlik çözülerek parametrenin alabileceği değer sınırları belirlenir.

Key Concept

Fonksiyon tanımlılık şartları ve gerçel sayılarda tanımlı en geniş küme
Rate this question

Topics

Fonksiyon Kavramı ve Tanım Kümesi

More questions from this topic