Examkin

Question

Difficulty: HardKümelerde Kesişim ve Birleşim İşlemleri

Bir okulda fizik (FF), kimya (KK) ve biyoloji (BB) olimpiyatlarına hazırlanan öğrencilerden oluşan bir grup öğrenci ile ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* Gruptaki her bir öğrenci en az bir olimpiyata hazırlanmaktadır.
* Fizik veya kimya olimpiyatına hazırlanan öğrenci sayısı 4545'tir.
* Kimya veya biyoloji olimpiyatına hazırlanan öğrenci sayısı 4848'dir.
* Fizik veya biyoloji olimpiyatına hazırlanan öğrenci sayısı 5151'dir.
* Fizik ve kimya olimpiyatlarına hazırlanan öğrenci sayısı, kimya ve biyoloji olimpiyatlarına hazırlanan öğrenci sayısından 33 fazladır.
* Her üç olimpiyata da hazırlanan öğrenci sayısı 44'tür.
* Gruptaki toplam öğrenci sayısı 6060'tır.

Buna göre, sadece fizik olimpiyatına hazırlanan öğrenci sayısı kaçtır?

Answer: 12 öğrenci

Answer

Sadece fizik olimpiyatına hazırlanan öğrenci sayısı 12'dir.
Verilen birleşim ve kesişim bağıntıları ile gruptaki toplam öğrenci sayısı kullanılarak kurulan denklem sisteminde, sadece fizik olimpiyatına hazırlanan öğrencilerin sayısını veren cebirsel ifade sadeleştiğinde değişkenlerden bağımsız olarak 12 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Kümelerin ve kesişimlerinin eleman sayıları için değişkenler tanımlamak.
s(F)=fs(F) = f, s(K)=ks(K) = k, s(B)=bs(B) = b olsun. İkili kesişimler için s(F∩K)=xs(F \cap K) = x, s(K∩B)=ys(K \cap B) = y, s(F∩B)=zs(F \cap B) = z olsun. Üçlü kesişim s(F∩K∩B)=4s(F \cap K \cap B) = 4 olarak verilmiştir.
Sözel olarak verilen ilişkileri matematiksel denklemler halinde yazabilmek için değişkenler atanır.
2
İkili birleşim formüllerini yazıp taraf tarafa toplamak.
s(F∪K)=f+k−x=45s(F \cup K) = f + k - x = 45, s(K∪B)=k+b−y=48s(K \cup B) = k + b - y = 48, s(F∪B)=f+b−z=51s(F \cup B) = f + b - z = 51 denklemleri elde edilir. Bunlar toplandığında 2(f+k+b)−(x+y+z)=1442(f + k + b) - (x + y + z) = 144 olur.
Bireysel küme eleman sayılarının toplamı ile kesişimlerin eleman sayılarının toplamı arasında bir bağıntı kurmak amaçlanır.
3
Üçlü birleşim formülünü kullanarak sistemin ortak çözümlerini bulmak.
s(F∪K∪B)=f+k+b−(x+y+z)+4=60  ⟹  (f+k+b)−(x+y+z)=56s(F \cup K \cup B) = f + k + b - (x + y + z) + 4 = 60 \implies (f + k + b) - (x + y + z) = 56 bulunur. S=f+k+bS = f + k + b ve I=x+y+zI = x + y + z dersek; 2S−I=1442S - I = 144 ve S−I=56S - I = 56 sisteminden S=88S = 88 ve I=32I = 32 elde edilir.
Toplam öğrenci sayısı ve kesişimlerin toplam eleman sayısını belirlemek için üçlü birleşim formülü kullanılır.
4
Verilen bağıntıyı uygulayarak sadece fizik olimpiyatına katılan öğrenci sayısını bulmak.
x=y+3x = y + 3 ve x+y+z=32  ⟹  z=29−2yx + y + z = 32 \implies z = 29 - 2y olur. Sadece fizik olimpiyatına hazırlananların sayısı fonly=f−(x+z−4)f_{only} = f - (x + z - 4) formülüyle bulunur. f=88−(k+b)=88−(48+y)=40−yf = 88 - (k + b) = 88 - (48 + y) = 40 - y olduğundan; fonly=(40−y)−(y+3+29−2y−4)=40−y−(28−y)=12f_{only} = (40 - y) - (y + 3 + 29 - 2y - 4) = 40 - y - (28 - y) = 12 bulunur.
İstenen spesifik bölgenin eleman sayısını diğer değişkenler cinsinden ifade edip sadeleştirerek sonuca ulaşılır.

Key Concept

Kümelerde kesişim ve birleşim işlemlerinin eleman sayıları formülleri ve Venn şeması üzerindeki bölge analizleri.

Alternative Method

Venn şeması çizilerek ayrık bölgelerin her birine harfler (a, b, c, d, e, f, g) verilip soruda sunulan tüm veriler bu harfler cinsinden yazıldığında, doğrudan aranan bölgenin sayısal değerine ulaşacak bir denklem kombinasyonu kurulabilir.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Kümelerde Kesişim ve Birleşim İşlemleri

More questions from this topic