Examkin

Question

Difficulty: Very hardRutin Olmayan Problemler

Bir okulda düzenlenecek tören için 1'den 9'a kadar numaralandırılmış 9 öğrenci, her sırada 3 kişi olacak biçimde 3 satır ve 3 sütundan oluşan bir kare düzende yan yana dizilecektir.

Bu dizilimde;
* Her satırdaki öğrencilerin yaka kartı numaraları soldan sağa doğru artmaktadır.
* Her sütundaki öğrencilerin yaka kartı numaraları önden arkaya (yukarıdan aşağıya) doğru artmaktadır.

Buna göre, tam ortada bulunan öğrencinin yaka kartı numarasının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

  1. A
    9
  2. B
    12
  3. 15Answer
  4. D
    18
  5. E
    21

Answer

Ortadaki öğrencinin yaka kartı numarasının alabileceği farklı değerlerin toplamı 15'tir.
Ortadaki hücre olan ikinci satır ikinci sütundaki sayının, sol üstündeki en az 3 sayıdan büyük ve sağ altındaki en az 3 sayıdan küçük olması gerektiği analiz edilir. Bu durum, ortadaki sayının en az 4 ve en fazla 6 olmasını zorunlu kılar. Bu değerlerin her biri için kurallara uygun geçerli birer dizilim yapılabildiği için ortadaki sayının alabileceği değerler 4, 5 ve 6'dır. Bunların toplamı ise 15 olur.

Step-by-Step Solution

1
Tablo hücrelerini ve kuralları matematiksel olarak modelleme.
Tablodaki hücreleri satır ve sütun sırasına göre xijx_{ij} (ii. satır, jj. sütun) olarak adlandıralım. Bize sorulan tam ortadaki hücre x22x_{22}'dir.
Sıralama ilişkilerini net bir şekilde görebilmek için sembolik modelleme gereklidir.
2
Ortadaki hücreden küçük olmak zorunda olan hücreleri belirleyerek alt sınırı bulma.
Kurallar gereği, x11<x12<x22x_{11} < x_{12} < x_{22} ve x11<x21<x22x_{11} < x_{21} < x_{22} eşitsizlikleri yazılır. Dolayısıyla x11x_{11}, x12x_{12} ve x21x_{21} hücrelerindeki sayıların her biri x22x_{22}'den küçüktür. Bu durumda x22x_{22} hücresindeki sayıdan küçük olan en az 3 farklı sayı bulunmalıdır. Sayılar 1'den başladığı için x22≥4x_{22} \geq 4 olmalıdır.
Sol üst bölgedeki elemanların merkezdeki elemandan küçük olma zorunluluğunu analiz etmek için.
3
Ortadaki hücreden büyük olmak zorunda olan hücreleri belirleyerek üst sınırı bulma.
Benzer şekilde, x22<x23<x33x_{22} < x_{23} < x_{33} ve x22<x32<x33x_{22} < x_{32} < x_{33} eşitsizlikleri yazılır. Dolayısıyla x23x_{23}, x32x_{32} ve x33x_{33} hücrelerindeki sayılar��n her biri x22x_{22}'den büyüktür. Bu durumda x22x_{22} hücresindeki sayıdan büyük olan en az 3 farklı sayı bulunmalıdır. En büyük sayı 9 olduğu için x22≤6x_{22} \leq 6 olmalıdır.
Sağ alt bölgedeki elemanların merkezdeki elemandan büyük olma zorunluluğunu analiz etmek için.
4
Olası değerleri doğrulama ve toplamı hesaplama.
Ortadaki hücre (x22x_{22}) için olası değerler 4, 5 ve 6'dır. Bu değerlerin her biri için kurallara uyan dizilimler oluşturulabilir. Örneğin; x22=4x_{22} = 4 için birinci satır [1, 2, 5], ikinci satır [3, 4, 7], üçüncü satır [6, 8, 9] dizilimi geçerlidir. x22x_{22} değerlerinin toplamı: 4 + 5 + 6 = 15 olarak bulunur.
Alt ve üst sınırların doğruluğunu örnek dizilimlerle teyit edip nihai cevaba ulaşmak için.

Key Concept

Sıralı matrislerde (Standart Young Tablosu yapısı) elemanların konumlarına göre eşitsizlik sınırlarının belirlenmesi ve mantıksal analiz.

Alternative Method

Matris elemanlarının simetri özelliğini kullanarak, ortadaki elemanın alabileceği en küçük değer olan 4 belirlendikten sonra, en büyük değerin de 10 - 4 = 6 olacağı doğrudan bulunabilir.
Estimated Time:3m 0s
Rate this question

Topics

Rutin Olmayan Problemler

More questions from this topic