Examkin

Question

Difficulty: MediumPolinomlarda Bölme ve Kalan Bulma

İkinci dereceden bir P(x)P(x) polinomunun x−3x-3 ile bölümünden kalan 00'dır. P(x)−4P(x) - 4 polinomu ise x−1x-1 ve x−2x-2 ile kalansız bölünebilmektedir. Buna göre, P(x)P(x) polinomunun x+1x+1 ile bölümünden kalan kaçtır?

Answer: -8

Answer

Polinomun genel denklemi P(x)=−2(x−1)(x−2)+4P(x) = -2(x-1)(x-2) + 4 olarak bulunur ve bu polinomun x+1x+1 ile bölümünden kalan −8-8 olarak hesaplanır.
Verilen bölünebilme kurallarına göre P(x)−4P(x) - 4 polinomunun çarpanları (x−1)(x-1) ve (x−2)(x-2) olarak belirlenir. P(x)=a(x−1)(x−2)+4P(x) = a(x-1)(x-2) + 4 eşitliğinde P(3)=0P(3) = 0 koşulu kullanılarak baş katsayı a=−2a = -2 olarak bulunur. Polinom P(x)=−2(x−1)(x−2)+4P(x) = -2(x-1)(x-2) + 4 biçimini alır ve bu polinomda x=−1x = -1 yazıldığında kalan −8-8 olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Polinomun genel formunu oluşturma
P(x)=a(x−1)(x−2)+4P(x) = a(x-1)(x-2) + 4
P(x)−4P(x) - 4 polinomunun x−1x-1 ve x−2x-2 çarpanlarına sahip olması ve P(x)P(x) polinomunun ikinci dereceden olması nedeniyle bu genel form yazılır.
2
Baş katsayıyı bulma
a=−2a = -2
P(3)=0P(3) = 0 olduğu bilindiğinden, denklemde x=3x = 3 yazılarak bilinmeyen aa katsayısı çözülür.
3
P(x)P(x) polinomunun x+1x+1 ile bölümünden kalanı hesaplama
P(−1)=−8P(-1) = -8
Bir polinomun x+1x+1 ile bölümünden kalan P(−1)P(-1) değerine eşittir; bu nedenle elde edilen polinomda x=−1x = -1 yazılır.

Key Concept

İkinci dereceden polinomların çarpanları yardımıyla yazılması ve polinomlarda kalan bulma
Rate this question

Topics

Polinomlarda Bölme ve Kalan Bulma

More questions from this topic