Examkin

Question

Difficulty: HardFonksiyonlarda Dört İşlem

AA ve BB tam sayıların alt kümeleri olmak üzere,

f:A→Rf: A \to \mathbb{R}
g:B→Rg: B \to \mathbb{R}

fonksiyonları tanımlanıyor. Tanım kümeleri

A={x∈Z:∣x−3∣≤2}A = \{x \in \mathbb{Z} : |x - 3| \leq 2\}
B={x∈Z:x2−7x+10<0}B = \{x \in \mathbb{Z} : x^2 - 7x + 10 < 0\}

olarak veriliyor.

f+gf + g ve f−gf - g fonksiyonlarının tanım kümesi TT olmak üzere, TT kümesi üzerinde tanımlı

(f+g)(x)=x2+a(f+g)(x) = x^2 + a
(f−g)(x)=5x−a(f-g)(x) = 5x - a

eşitlikleri sağlanmaktadır.

aa bir gerçel sayı ve (f⋅g)(3)=24(f \cdot g)(3) = 24 olduğuna göre, TT kümesinin elemanlarının toplamı KK ve

(f⋅g)(4)−3⋅(fg)(4)(f \cdot g)(4) - 3 \cdot \left(\frac{f}{g}\right)(4)

ifadesinin değeri LL olmak üzere, K+LK + L toplamı kaçtır?

  1. A
    36
  2. 43Answer
  3. C
    50
  4. D
    51
  5. E
    58

Answer

Doğru yanıt kırk üç değerini veren seçenektir.
Soruda verilen iki kümenin kesişimi olan ortak tanım kümesi belirlenip elemanlar toplamı yedi olarak bulunur. Ardından verilen çarpım değeri yardımıyla bilinmeyen sabit sayı beş olarak elde edilir. Bu sabit sayı ile fonksiyonların dört işlem kuralları belirlenip istenen ifade otuz altı olarak hesaplanır. İki değerin toplamından kırk üç sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
A ve B kümelerinin elemanlarını belirleme.
A={1,2,3,4,5}A = \{1, 2, 3, 4, 5\} ve B={3,4}B = \{3, 4\}
AA kümesi ∣x−3∣≤2  ⟹  −2≤x−3≤2  ⟹  1≤x≤5|x-3| \leq 2 \implies -2 \leq x-3 \leq 2 \implies 1 \leq x \leq 5 eşitsizliğini sağlayan tam sayılardan oluşur. BB kümesi ise x2−7x+10<0  ⟹  (x−2)(x−5)<0  ⟹  2<x<5x^2-7x+10 < 0 \implies (x-2)(x-5) < 0 \implies 2 < x < 5 eşitsizliğini sağlayan tam sayılardan oluşur.
2
f+gf+g ve f−gf-g fonksiyonlarının tanım kümesini ve bu kümenin elemanları toplamı olan KK değerini bulma.
T=A∩B={3,4}T = A \cap B = \{3, 4\} ve K=3+4=7K = 3 + 4 = 7
Fonksiyonlarda toplama ve çıkarma işlemlerinin tanımlı olabilmesi için her iki fonksiyonun da tanımlı olduğu ortak küme, yani tanım kümelerinin kesişimi alınmalıdır.
3
x=3x = 3 için verilen eşitlikleri kullanarak aa sabitini bulma.
a=5a = 5
x=3x = 3 için (f+g)(3)=9+a(f+g)(3) = 9 + a ve (f−g)(3)=15−a(f-g)(3) = 15 - a olur. Bu eşitlikler taraf tarafa toplanırsa 2f(3)=24  ⟹  f(3)=122f(3) = 24 \implies f(3) = 12 bulunur. (f⋅g)(3)=f(3)⋅g(3)=24  ⟹  12⋅g(3)=24  ⟹  g(3)=2(f \cdot g)(3) = f(3) \cdot g(3) = 24 \implies 12 \cdot g(3) = 24 \implies g(3) = 2 elde edilir. Tanımdan g(3)=a−3g(3) = a - 3 olduğundan a−3=2  ⟹  a=5a - 3 = 2 \implies a = 5 bulunur.
4
x=4x = 4 için f(4)f(4) ve g(4)g(4) değerlerini hesaplama.
f(4)=18f(4) = 18 ve g(4)=3g(4) = 3
a=5a = 5 için (f+g)(4)=16+5=21(f+g)(4) = 16 + 5 = 21 ve (f−g)(4)=20−5=15(f-g)(4) = 20 - 5 = 15 olur. Bu iki eşitlik taraf tarafa toplanırsa 2f(4)=36  ⟹  f(4)=182f(4) = 36 \implies f(4) = 18 elde edilir. Buradan 18+g(4)=21  ⟹  g(4)=318 + g(4) = 21 \implies g(4) = 3 bulunur.
5
LL ifadesinin değerini ve ardından K+LK + L toplamını hesaplama.
L=36L = 36 ve K+L=43K + L = 43
L=(f⋅g)(4)−3⋅(fg)(4)=f(4)⋅g(4)−3⋅f(4)g(4)=18⋅3−3⋅183=54−18=36L = (f \cdot g)(4) - 3 \cdot \left(\frac{f}{g}\right)(4) = f(4) \cdot g(4) - 3 \cdot \frac{f(4)}{g(4)} = 18 \cdot 3 - 3 \cdot \frac{18}{3} = 54 - 18 = 36 olur. Buradan K+L=7+36=43K + L = 7 + 36 = 43 elde edilir.

Key Concept

Fonksiyonlarda dört işlem yapılabilmesi için işlemlerin tanım kümelerinin kesişim kümesi üzerinde tanımlanması gerekir.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Fonksiyonlarda Dört İşlem

More questions from this topic