Examkin

Fonksiyonlarda Dört İşlem

7 questions

All types7Multiple choice4Numeric3
Question 1Question →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ff ve gg fonksiyonları, her xx gerçel sayısı için
(f+2g)(x)=3x2−x+4 (f + 2g)(x) = 3x^2 - x + 4
(2f−g)(x)=x2+3x−2 (2f - g)(x) = x^2 + 3x - 2
eşitliklerini sağlamaktadır.

Buna göre, (f⋅g)(2)(f \cdot g)(2) değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 24

Answer

İstenen (f⋅g)(2)(f \cdot g)(2) değeri 24 olarak bulunur.
Verilen iki fonksiyon denkleminde x=2x = 2 yazılarak f(2)+2g(2)=14f(2) + 2g(2) = 14 ve 2f(2)−g(2)=82f(2) - g(2) = 8 denklem sistemi elde edilir. Bu sistem çözüldüğünde f(2)=6f(2) = 6 ve g(2)=4g(2) = 4 bulunur. Fonksiyonlarda çarpma işleminin tanımı gereği (f⋅g)(2)=f(2)⋅g(2)=6⋅4=24(f \cdot g)(2) = f(2) \cdot g(2) = 6 \cdot 4 = 24 sonucuna varılır.

Step-by-Step Solution

1
Eşitliklerde x=2x = 2 yazılarak f(2)f(2) ve g(2)g(2) değerlerine bağlı denklemleri oluşturalım.
f(2)+2g(2)=14f(2) + 2g(2) = 14 ve 2f(2)−g(2)=82f(2) - g(2) = 8 elde edilir.
x=2x = 2 noktasındaki fonksiyon değerlerini bulmak amacıyla değişkenlerin yerine 2 yazarız.
2
f(2)=uf(2) = u ve g(2)=vg(2) = v d��nüşümü ile elde edilen sistemi çözelim.
u=6u = 6 ve v=4v = 4 bulunur, yani f(2)=6f(2) = 6 ve g(2)=4g(2) = 4 olur.
İkinci denklemi 2 ile çarpıp birinci denklemle topladığımızda 5u=30  ⟹  u=65u = 30 \implies u = 6 elde edilir. Bu değer denklemlerden birinde yerine yazıldığında v=4v = 4 bulunur.
3
Fonksiyonlarda çarpma işlemi kuralını uygulayarak sonuca ulaşalım.
(f⋅g)(2)=6⋅4=24(f \cdot g)(2) = 6 \cdot 4 = 24 olarak bulunur.
Çarpım fonksiyonunun bir noktadaki değeri, fonksiyonların o noktadaki değerlerinin çarpımına eşittir.

Key Concept

Fonksiyonlarda dört işlem kuralları
Estimated Time:2m 0s
Question 2Question →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ff ve gg fonksiyonları için
(f+g)(x)=x2+3x(f + g)(x) = x^2 + 3x
(f−g)(x)=x2−x(f - g)(x) = x^2 - x
eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, g(5)g(5) değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 10

Answer

10
Verilen fonksiyonlarda x=5x = 5 yazıldığında f(5)+g(5)=40f(5) + g(5) = 40 ve f(5)−g(5)=20f(5) - g(5) = 20 eşitlikleri elde edilir. Bu iki eşitlik taraf tarafa çıkarıldığında 2g(5)=202g(5) = 20 bulunur ve buradan g(5)=10g(5) = 10 olarak elde edilir. Dolayısıyla doğru cevap 10'dur.

Step-by-Step Solution

1
Fonksiyonlarda dört işlem tanımından yararlanarak, verilen eşitliklerde x=5x = 5 yazılır.
f(5)+g(5)=52+3(5)=40f(5) + g(5) = 5^2 + 3(5) = 40 ve f(5)−g(5)=52−5=20f(5) - g(5) = 5^2 - 5 = 20 elde edilir.
g(5)g(5) değerini bulabilmek için fonksiyonların 55 noktasındaki değerlerini veren bir denklem sistemi kurmak gerekir.
2
Elde edilen f(5)+g(5)=40f(5) + g(5) = 40 denkleminden f(5)−g(5)=20f(5) - g(5) = 20 denklemi taraf tarafa çıkarılır.
[f(5)+g(5)]−[f(5)−g(5)]=40−20  ⟹  2g(5)=20[f(5) + g(5)] - [f(5) - g(5)] = 40 - 20 \implies 2g(5) = 20 elde edilir.
f(5)f(5) bilinmeyenini yok ederek doğrudan g(5)g(5) değerine ulaşmak amaçlanır.
3
Elde edilen denklemde her iki taraf 22'ye bölünür.
g(5)=10g(5) = 10 bulunur.
g(5)g(5) değerini yalnız bırakmak için.

Key Concept

Fonksiyonlarda toplama ve çıkarma işlemleri ile değer bulma
Estimated Time:1m 0s
Question 3Question →

Tanımlı oldukları aralıklarda f(x)=3x−1f(x) = 3x - 1 ve g(x)=x2−3g(x) = x^2 - 3 fonksiyonları veriliyor. Buna göre, (2f+g)(3)(2f + g)(3) ifadesinin değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 22

Answer

İşlemler sonucunda elde edilen doğru cevap 22'dir.
Fonksiyonlarda dört işlem kuralları gereği, (2f+g)(3)(2f + g)(3) ifadesi 2⋅f(3)+g(3)2 \cdot f(3) + g(3) değerine eşittir. Verilen fonksiyon tanımlarından f(3)=8f(3) = 8 ve g(3)=6g(3) = 6 olarak bulunur. Bu değerler yerine yazıldığında 2⋅8+6=222 \cdot 8 + 6 = 22 elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
f(3)f(3) değerinin hesaplanması
f(3)=8f(3) = 8
f(x)=3x−1f(x) = 3x - 1 fonksiyonunda x=3x = 3 yazılarak ff fonksiyonunun bu noktadaki değeri bulunur.
2
g(3)g(3) değerinin hesaplanması
g(3)=6g(3) = 6
g(x)=x2−3g(x) = x^2 - 3 fonksiyonunda x=3x = 3 yazılarak gg fonksiyonunun bu noktadaki değeri bulunur.
3
(2f+g)(3)(2f + g)(3) ifadesinin açılması ve değerlerin yerine yazılması
(2f+g)(3)=2⋅8+6=22(2f + g)(3) = 2 \cdot 8 + 6 = 22
Fonksiyonlarda toplama ve skalerle çarpma kurallarına göre (2f+g)(3)=2f(3)+g(3)(2f + g)(3) = 2f(3) + g(3) eşitliği kullanılır.

Key Concept

Fonksiyonlarda Dört İşlem
Question 4Question →

AA ve BB tam sayıların alt kümeleri olmak üzere,

f:A→Rf: A \to \mathbb{R}
g:B→Rg: B \to \mathbb{R}

fonksiyonları tanımlanıyor. Tanım kümeleri

A={x∈Z:∣x−3∣≤2}A = \{x \in \mathbb{Z} : |x - 3| \leq 2\}
B={x∈Z:x2−7x+10<0}B = \{x \in \mathbb{Z} : x^2 - 7x + 10 < 0\}

olarak veriliyor.

f+gf + g ve f−gf - g fonksiyonlarının tanım kümesi TT olmak üzere, TT kümesi üzerinde tanımlı

(f+g)(x)=x2+a(f+g)(x) = x^2 + a
(f−g)(x)=5x−a(f-g)(x) = 5x - a

eşitlikleri sağlanmaktadır.

aa bir gerçel sayı ve (f⋅g)(3)=24(f \cdot g)(3) = 24 olduğuna göre, TT kümesinin elemanlarının toplamı KK ve

(f⋅g)(4)−3⋅(fg)(4)(f \cdot g)(4) - 3 \cdot \left(\frac{f}{g}\right)(4)

ifadesinin değeri LL olmak üzere, K+LK + L toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 43

Answer

Doğru yanıt kırk üç değerini veren seçenektir.
Soruda verilen iki kümenin kesişimi olan ortak tanım kümesi belirlenip elemanlar toplamı yedi olarak bulunur. Ardından verilen çarpım değeri yardımıyla bilinmeyen sabit sayı beş olarak elde edilir. Bu sabit sayı ile fonksiyonların dört işlem kuralları belirlenip istenen ifade otuz altı olarak hesaplanır. İki değerin toplamından kırk üç sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
A ve B kümelerinin elemanlarını belirleme.
A={1,2,3,4,5}A = \{1, 2, 3, 4, 5\} ve B={3,4}B = \{3, 4\}
AA kümesi ∣x−3∣≤2  ⟹  −2≤x−3≤2  ⟹  1≤x≤5|x-3| \leq 2 \implies -2 \leq x-3 \leq 2 \implies 1 \leq x \leq 5 eşitsizliğini sağlayan tam sayılardan oluşur. BB kümesi ise x2−7x+10<0  ⟹  (x−2)(x−5)<0  ⟹  2<x<5x^2-7x+10 < 0 \implies (x-2)(x-5) < 0 \implies 2 < x < 5 eşitsizliğini sağlayan tam sayılardan oluşur.
2
f+gf+g ve f−gf-g fonksiyonlarının tanım kümesini ve bu kümenin elemanları toplamı olan KK değerini bulma.
T=A∩B={3,4}T = A \cap B = \{3, 4\} ve K=3+4=7K = 3 + 4 = 7
Fonksiyonlarda toplama ve çıkarma işlemlerinin tanımlı olabilmesi için her iki fonksiyonun da tanımlı olduğu ortak küme, yani tanım kümelerinin kesişimi alınmalıdır.
3
x=3x = 3 için verilen eşitlikleri kullanarak aa sabitini bulma.
a=5a = 5
x=3x = 3 için (f+g)(3)=9+a(f+g)(3) = 9 + a ve (f−g)(3)=15−a(f-g)(3) = 15 - a olur. Bu eşitlikler taraf tarafa toplanırsa 2f(3)=24  ⟹  f(3)=122f(3) = 24 \implies f(3) = 12 bulunur. (f⋅g)(3)=f(3)⋅g(3)=24  ⟹  12⋅g(3)=24  ⟹  g(3)=2(f \cdot g)(3) = f(3) \cdot g(3) = 24 \implies 12 \cdot g(3) = 24 \implies g(3) = 2 elde edilir. Tanımdan g(3)=a−3g(3) = a - 3 olduğundan a−3=2  ⟹  a=5a - 3 = 2 \implies a = 5 bulunur.
4
x=4x = 4 için f(4)f(4) ve g(4)g(4) değerlerini hesaplama.
f(4)=18f(4) = 18 ve g(4)=3g(4) = 3
a=5a = 5 için (f+g)(4)=16+5=21(f+g)(4) = 16 + 5 = 21 ve (f−g)(4)=20−5=15(f-g)(4) = 20 - 5 = 15 olur. Bu iki eşitlik taraf tarafa toplanırsa 2f(4)=36  ⟹  f(4)=182f(4) = 36 \implies f(4) = 18 elde edilir. Buradan 18+g(4)=21  ⟹  g(4)=318 + g(4) = 21 \implies g(4) = 3 bulunur.
5
LL ifadesinin değerini ve ardından K+LK + L toplamını hesaplama.
L=36L = 36 ve K+L=43K + L = 43
L=(f⋅g)(4)−3⋅(fg)(4)=f(4)⋅g(4)−3⋅f(4)g(4)=18⋅3−3⋅183=54−18=36L = (f \cdot g)(4) - 3 \cdot \left(\frac{f}{g}\right)(4) = f(4) \cdot g(4) - 3 \cdot \frac{f(4)}{g(4)} = 18 \cdot 3 - 3 \cdot \frac{18}{3} = 54 - 18 = 36 olur. Buradan K+L=7+36=43K + L = 7 + 36 = 43 elde edilir.

Key Concept

Fonksiyonlarda dört işlem yapılabilmesi için işlemlerin tanım kümelerinin kesişim kümesi üzerinde tanımlanması gerekir.
Estimated Time:2m 30s
Question 5Question →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir ff fonksiyonu her xx gerçel sayısı için
f(x)+f(−x)=6f(x) + f(-x) = 6
eşitliğini sağlamaktadır.
Gerçel sayılar kümesinde tanımlı gg fonksiyonu ise doğrusal bir fonksiyon olup grafiği orijinden geçmektedir.
(f⋅g)(2)−(f⋅g)(−2)=24(f \cdot g)(2) - (f \cdot g)(-2) = 24
olduğuna göre, g(4)g(4) değeri kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 8

Answer

g(4) değeri 8'dir.
g(x) fonksiyonu orijinden geçen doğrusal bir fonksiyon olduğundan g(x) = kx şeklindedir. Fonksiyonlarda çarpma tanımından (f * g)(2) - (f * g)(-2) ifadesi 2k * (f(2) + f(-2)) olarak yazılır. f(2) + f(-2) = 6 olduğundan 12k = 24 denklemi elde edilir. Buradan k = 2 bulunur ve g(x) = 2x fonksiyonu için g(4) = 8 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
g(x) fonksiyonunun kuralını belirleme
g(x) = kx (k bir gerçel sayı)
g fonksiyonunun doğrusal olduğu ve grafiğinin orijinden geçtiği belirtilmiştir.
2
g(2) ve g(-2) değerlerini k cinsinden yazma
g(2) = 2k ve g(-2) = -2k
g(x) = kx kuralında x yerine sırasıyla 2 ve -2 yazılır.
3
Verilen çarpım işlemini düzenleme
(f * g)(2) - (f * g)(-2) = 2k * (f(2) + f(-2))
Fonksiyonlarda çarpma işlemi (f * g)(x) = f(x) * g(x) kuralına göre açılır ve ortak paranteze alınır.
4
f(2) + f(-2) toplamını kullanıp k değerini bulma
k = 2 ve g(x) = 2x
Her x için f(x) + f(-x) = 6 olduğundan f(2) + f(-2) = 6'dır. Buradan 12k = 24 denklemi çözülür.
5
g(4) değerini hesaplama
g(4) = 8
g(x) = 2x fonksiyonunda x yerine 4 yazılır.

Key Concept

Fonksiyonlarda dört işlem ve doğrusal fonksiyon özellikleri

Alternative Method

f(x) fonksiyonuna şartı sağlayan özel bir fonksiyon seçilerek de çözüme gidilebilir. Örneğin, her x için f(x) + f(-x) = 6 şartını sağlayan f(x) = 3 sabit fonksiyonu seçilirse, f(2) = 3 ve f(-2) = 3 olur. Bu durumda (f * g)(2) - (f * g)(-2) = 3 * g(2) - 3 * g(-2) = 3 * (2k) - 3 * (-2k) = 12k = 24 elde edilir. Buradan k = 2 ve g(4) = 8 bulunur.
Estimated Time:1m 30s
Question 6Question →
Tanım kümesi gerçel sayılar olan ff ve gg fonksiyonları
f(x)=2x−af(x) = 2x - a
g(x)=ax+3g(x) = ax + 3
kuralları ile veriliyor.
(f+g)(2)=(f⋅g)(1)(f + g)(2) = (f \cdot g)(1)
olduğuna göre, (f−g)(a)(f - g)(a) ifadesinin değeri kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: −5-5

Answer

−5-5
Verilen (f+g)(2)=(f⋅g)(1)(f+g)(2) = (f \cdot g)(1) eşitliği açıldığında f(2)+g(2)=f(1)⋅g(1)f(2) + g(2) = f(1) \cdot g(1) olur. Bu değerler fonksiyon tanımlarına göre aa cinsinden yazılarak a+7=−a2−a+6a + 7 = -a^2 - a + 6 denklemine ulaşılır. Buradan a2+2a+1=(a+1)2=0a^2 + 2a + 1 = (a+1)^2 = 0 ve a=−1a = -1 bulunur. Fonksiyonlarda a=−1a = -1 yazıldığında f(x)=2x+1f(x) = 2x + 1 ve g(x)=−x+3g(x) = -x + 3 elde edilir. İstenen (f−g)(a)(f-g)(a) yani (f−g)(−1)=f(−1)−g(−1)=−1−4=−5(f-g)(-1) = f(-1) - g(-1) = -1 - 4 = -5 olur.

Step-by-Step Solution

1
(f+g)(2)(f+g)(2) ve (f⋅g)(1)(f \cdot g)(1) ifadelerini fonksiyonlarda dört işlem tanımına göre açalım.
(f+g)(2)=f(2)+g(2)(f+g)(2) = f(2) + g(2) ve (f⋅g)(1)=f(1)⋅g(1)(f \cdot g)(1) = f(1) \cdot g(1) olur.
Fonksiyon işlemlerini bağımsız fonksiyon değerlerine dönüştürmek için.
2
f(x)=2x−af(x) = 2x - a ve g(x)=ax+3g(x) = ax + 3 kurallarını kullanarak f(2)f(2), g(2)g(2), f(1)f(1) ve g(1)g(1) değerlerini aa cinsinden hesaplayalım.
f(2)=4−af(2) = 4 - a, g(2)=2a+3g(2) = 2a + 3, f(1)=2−af(1) = 2 - a ve g(1)=a+3g(1) = a + 3 elde edilir.
Denklemde bilinmeyenlerin değerlerini yerine yazabilmek için.
3
Elde edilen değerleri f(2)+g(2)=f(1)⋅g(1)f(2) + g(2) = f(1) \cdot g(1) eşitliğinde yerine yazarak denklemi kuralım.
(4−a)+(2a+3)=(2−a)(a+3)  ⟹  a+7=−a2−a+6(4 - a) + (2a + 3) = (2 - a)(a + 3) \implies a + 7 = -a^2 - a + 6 olur.
aa değerini bulmamızı sağlayacak denklemi oluşturmak için.
4
Elde edilen ikinci dereceden denklemi tüm terimleri bir tarafa toplayarak düzenleyelim ve çözelim.
a2+2a+1=0  ⟹  (a+1)2=0  ⟹  a=−1a^2 + 2a + 1 = 0 \implies (a+1)^2 = 0 \implies a = -1 bulunur.
aa parametresinin tek reel kökünü tespit etmek için.
5
a=−1a = -1 değerini fonksiyonlarda yerine yazıp (f−g)(a)(f-g)(a) yani (f−g)(−1)(f-g)(-1) değerini hesaplayalım.
f(x)=2x+1f(x) = 2x + 1 ve g(x)=−x+3g(x) = -x + 3 olur. (f−g)(−1)=f(−1)−g(−1)=(−1)−4=−5(f-g)(-1) = f(-1) - g(-1) = (-1) - 4 = -5 elde edilir.
Soru kökünde istenen nihai sonuca ulaşmak için.

Key Concept

Fonksiyonlarda dört işlem ve fonksiyon değerlerinin bulunması
Estimated Time:2m 0s
Question 7Question →
AA ve BB kümeleri üzerinde sırasıyla f:A→Rf: A \rightarrow \mathbb{R} ve g:B→Rg: B \rightarrow \mathbb{R} fonksiyonları
f={(1,5),(2,4),(3,−2),(4,6)}f = \{(1, 5), (2, 4), (3, -2), (4, 6)\}
g={(2,3),(3,2),(4,−1),(5,4)}g = \{(2, 3), (3, 2), (4, -1), (5, 4)\}
biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, (f⋅g−f)(f \cdot g - f) fonksiyonunun görüntü kümesindeki elemanların toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: -6

Answer

Fonksiyonun görüntü kümesindeki elemanların toplamı -6 değerine eşittir.
Fonksiyonlarda dört işlem tanımlanırken en temel kural, işlemin her iki fonksiyonun da tanımlı olduğu ortak elemanlar üzerinde yapılmasıdır. f fonksiyonunun tanım kümesi A = {1, 2, 3, 4} ve g fonksiyonunun tanım kümesi B = {2, 3, 4, 5} olduğundan, ortak tanım kümesi bu iki kümenin kesişimi olan {2, 3, 4} kümesidir. Bu elemanlar için (f * g - f)(x) değerleri sırasıyla 8, -2 ve -12 olarak hesaplanır. Bu değerlerin toplamı ise -6 olur.

Step-by-Step Solution

1
f ve g fonksiyonlarının tanım kümelerini belirlemek ve kesişimini bulmak.
A={1,2,3,4}A = \{1, 2, 3, 4\} ve B={2,3,4,5}B = \{2, 3, 4, 5\} olup kesişim kümesi A∩B={2,3,4}A \cap B = \{2, 3, 4\} olarak bulunur.
İki fonksiyon üzerinde toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemleri yalnızca bu fonksiyonların tanım kümelerinin kesişim kümesinde tanımlıdır.
2
Kesişim kümesindeki her bir eleman için (f * g - f)(x) değerini hesaplamak.
x=2x = 2 için: f(2)⋅g(2)−f(2)=4⋅3−4=8f(2) \cdot g(2) - f(2) = 4 \cdot 3 - 4 = 8
x=3x = 3 için: f(3)⋅g(3)−f(3)=(−2)⋅2−(−2)=−2f(3) \cdot g(3) - f(3) = (-2) \cdot 2 - (-2) = -2
x=4x = 4 için: f(4)⋅g(4)−f(4)=6⋅(−1)−6=−12f(4) \cdot g(4) - f(4) = 6 \cdot (-1) - 6 = -12
(f⋅g−f)(x)=f(x)⋅g(x)−f(x)(f \cdot g - f)(x) = f(x) \cdot g(x) - f(x) kuralını tanım kümesindeki ortak elemanlara uygulamak gerekir.
3
Elde edilen görüntü değerlerini toplamak.
8+(−2)+(−12)=−68 + (-2) + (-12) = -6
Bizden fonksiyonun görüntü kümesindeki elemanların toplamı istenmektedir.

Key Concept

Fonksiyonlarda dört işlem yapılırken işlem yapılacak fonksiyonların tanım kümelerinin kesişim kümesi esas alınır.
Fonksiyonlarda Dört İşlem Practice Questions — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi) | Examkin