Examkin

Question

Difficulty: MediumFonksiyonlarda Dört İşlem
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir ff fonksiyonu her xx gerçel sayısı için
f(x)+f(−x)=6f(x) + f(-x) = 6
eşitliğini sağlamaktadır.
Gerçel sayılar kümesinde tanımlı gg fonksiyonu ise doğrusal bir fonksiyon olup grafiği orijinden geçmektedir.
(f⋅g)(2)−(f⋅g)(−2)=24(f \cdot g)(2) - (f \cdot g)(-2) = 24
olduğuna göre, g(4)g(4) değeri kaçtır?

Answer: 8

Answer

g(4) değeri 8'dir.
g(x) fonksiyonu orijinden geçen doğrusal bir fonksiyon olduğundan g(x) = kx şeklindedir. Fonksiyonlarda çarpma tanımından (f * g)(2) - (f * g)(-2) ifadesi 2k * (f(2) + f(-2)) olarak yazılır. f(2) + f(-2) = 6 olduğundan 12k = 24 denklemi elde edilir. Buradan k = 2 bulunur ve g(x) = 2x fonksiyonu için g(4) = 8 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
g(x) fonksiyonunun kuralını belirleme
g(x) = kx (k bir gerçel sayı)
g fonksiyonunun doğrusal olduğu ve grafiğinin orijinden geçtiği belirtilmiştir.
2
g(2) ve g(-2) değerlerini k cinsinden yazma
g(2) = 2k ve g(-2) = -2k
g(x) = kx kuralında x yerine sırasıyla 2 ve -2 yazılır.
3
Verilen çarpım işlemini düzenleme
(f * g)(2) - (f * g)(-2) = 2k * (f(2) + f(-2))
Fonksiyonlarda çarpma işlemi (f * g)(x) = f(x) * g(x) kuralına göre açılır ve ortak paranteze alınır.
4
f(2) + f(-2) toplamını kullanıp k değerini bulma
k = 2 ve g(x) = 2x
Her x için f(x) + f(-x) = 6 olduğundan f(2) + f(-2) = 6'dır. Buradan 12k = 24 denklemi çözülür.
5
g(4) değerini hesaplama
g(4) = 8
g(x) = 2x fonksiyonunda x yerine 4 yazılır.

Key Concept

Fonksiyonlarda dört işlem ve doğrusal fonksiyon özellikleri

Alternative Method

f(x) fonksiyonuna şartı sağlayan özel bir fonksiyon seçilerek de çözüme gidilebilir. Örneğin, her x için f(x) + f(-x) = 6 şartını sağlayan f(x) = 3 sabit fonksiyonu seçilirse, f(2) = 3 ve f(-2) = 3 olur. Bu durumda (f * g)(2) - (f * g)(-2) = 3 * g(2) - 3 * g(-2) = 3 * (2k) - 3 * (-2k) = 12k = 24 elde edilir. Buradan k = 2 ve g(4) = 8 bulunur.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Fonksiyonlarda Dört İşlem

More questions from this topic