Examkin

Question

Difficulty: MediumSayı Kümeleri

Doğal sayılar kümesi N\mathbb{N}, tam sayılar kümesi Z\mathbb{Z} ve gerçel sayılar kümesi R\mathbb{R} ile gösterilmektedir.

A={x∈R∣x2∈N} A = \{x \in \mathbb{R} \mid x^2 \in \mathbb{N}\}
B={x∈R∣12x2+1∈Z} B = \{x \in \mathbb{R} \mid \frac{12}{x^2 + 1} \in \mathbb{Z}\}

kümeleri veriliyor.

Buna göre, A∩BA \cap B kesişim kümesinin eleman sayısı kaçtır?

Answer: 11

Answer

Kesişim kümesinin eleman sayısı 11'dir.
Kesişim kümesindeki elemanlar hem x2∈Nx^2 \in \mathbb{N} hem de 12x2+1∈Z\frac{12}{x^2+1} \in \mathbb{Z} koşulunu sağlamalıdır. İkinci koşuldan elde edilen x2=12k−1x^2 = \frac{12}{k}-1 ifadesinin bir doğal sayı olabilmesi için kk sayısı 12'nin pozitif bölenleri olmalıdır. Bu bölenler için x2x^2 değerleri 11,5,3,2,1,011, 5, 3, 2, 1, 0 olarak bulunur. Pozitif olan 5 adet kare değeri için ikişer adet (x=±x2x = \pm\sqrt{x^2}), sıfır değeri için ise tek bir xx gerçel sayısı bulunur. Böylece kesişim kümesinin eleman sayısı 11 olur.

Step-by-Step Solution

1
B kümesinin eleman tanımından yola çıkarak 12x2+1\frac{12}{x^2+1} ifadesini bir kk tam sayısına eşitlemek ve x2+1≥1x^2+1 \geq 1 eşitsizliğini kullanarak kk değer aralığını bulmak.
k∈{1,2,3,…,12}k \in \{1, 2, 3, \dots, 12\} aralığında olmalıdır.
Gerçel sayılar kümesinde bir sayının karesi en az sıfır olabileceğinden payda en az 1 olur. Pozitif bir sayının en az 1 olan bir sayıya bölümü pozitif olup en fazla 12 olabilir.
2
A kümesinin eleman koşulu olan x2∈Nx^2 \in \mathbb{N} şartını kesişim kümesine uygulamak.
x2=12k−1x^2 = \frac{12}{k} - 1 ifadesinin doğal sayı olması için kk sayısının 12'nin pozitif bölenleri (1,2,3,4,6,121, 2, 3, 4, 6, 12) olması gerekir.
Kesişim kümesindeki elemanların karelerinin doğal sayı (yani negatif olmayan bir tam sayı) olması şartı aranır. 12k−1\frac{12}{k} - 1 ifadesinin tam sayı olması için kk sayısı 12'yi tam bölmelidir.
3
Bölen kk değerleri için xx gerçel sayılarını elde edip eleman sayısını hesaplamak.
k∈{1,2,3,4,6}k \in \{1, 2, 3, 4, 6\} için ikişer adet gerçel sayı (x=±x2x = \pm\sqrt{x^2}), k=12k = 12 için ise tek bir gerçel sayı (x=0x = 0) elde edilir. Toplam eleman sayısı 11'dir.
Pozitif tam sayıların karekökü iki farklı gerçel sayı (biri pozitif, diğeri negatif) verirken, sıfırın karekökü yalnızca sıfır değerini verir.

Key Concept

Sayı kümelerinin tanımları, rasyonel ve irrasyonel sayıların ayırt edilmesi ve küme kesişim işleminin eleman analizi.
Rate this question

Topics

Sayı Kümeleri

More questions from this topic