Examkin

Question

Difficulty: MediumRutin Olmayan Problemler

Dairesel bir masa etrafında yerleştirilmiş olan 6 adet boş kutunun her birine birer pozitif tam sayı yazılacaktır. Bu kutulara yazılacak olan sayılarla ilgili aşağıdaki kural bilinmektedir:

* Yan yana bulunan herhangi iki kutudaki sayıların çarpımı her zaman 12'den büyük ve 20'den küçük olmalıdır.

Buna göre, kutulara yazılan tüm sayıların toplamı en az kaçtır?

  1. A
    21
  2. B
    22
  3. C
    23
  4. 24Answer
  5. E
    25

Answer

Kutulara yazılan sayıların toplamı en az 24 olabilir.
Kutulardaki sayıların toplamını en aza indirmek için sayıları mümkün olduğunca küçük seçmeliyiz. Eğer kutulardan birine 4 yazarsak, komşu kutunun yy değeri için 12<4y<2012 < 4y < 20 olmalıdır; bu aralıkta sadece y=4y=4 tam sayısı bulunur. Bu durumda tüm kutulardaki sayılar 4 olur ve toplam 6×4=246 \times 4 = 24 elde edilir. Eğer 4 yerine daha küçük olan 3 yazılırsa, komşuları sadece 5 veya 6 olabilir. Dairesel dizilimde bu sayıların toplamı en az 3×3+3×5=243 \times 3 + 3 \times 5 = 24 olur. 2 veya 1 kullanılması durumunda ise komşuları çok daha büyük değerler alacağından toplam 24'ten büyük çıkacaktır. Bu nedenle en küçük toplam 24'tür.

Step-by-Step Solution

1
Kutulardaki sayıları x1,x2,x3,x4,x5,x6x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6 olarak adlandırıp her komşu çift için 12<xixi+1<2012 < x_i x_{i+1} < 20 eşitsizliğini kurmak.
Her komşu çiftin çarpımı pozitif tam sayı olarak 13, 14, 15, 16, 17, 18 veya 19 olmalıdır.
Soruda verilen çarpım sınırlarını matematiksel olarak ifade etmek.
2
Kutulardan birinde 4 sayısı olması durumunu incelemek.
Eğer bir kutuda 4 varsa, yanındaki kutulardaki sayı yy için 12<4y<2012 < 4y < 20 olmalıdır. Bu eşitsizliği sağlayan tek tam sayı y=4y=4'tür. Dolayısıyla tüm kutular 4 olmalıdır.
4 sayısının komşuluk ilişkilerini belirlemek.
3
Kutularda 4 kullanılmaması durumunda olası en küçük tam sayıları incelemek.
Kutularda 3 bulunması durumunda komşuları ancak 5 veya 6 olabilir. 5 ve 6 sayılarının komşuları ise sadece 3 olabilir. Bu durumda sayılar dairesel düzende 3,5,3,5,3,53, 5, 3, 5, 3, 5 şeklinde sıralanır.
Farklı sayıların komşuluk sınırlarını analiz ederek alternatif dizilimleri bulmak.
4
Olası tüm durumların toplamlarını karşılaştırmak.
Tüm sayıların 4 olduğu durumda toplam 6×4=246 \times 4 = 24; 3 ve 5 sayılarının ardışık dizildiği durumda toplam 3×3+3×5=243 \times 3 + 3 \times 5 = 24 olur. Daha küçük pozitif tam sayılar (1 veya 2) kullanıldığında komşuları ��ok büyüyeceğinden toplam daha büyük çıkacaktır.
Minimum toplamı veren seçeneği belirlemek.

Key Concept

Rutin Olmayan Problemlerde Eşitsizlik ve Çarpan Analizi

Alternative Method

Alternatif olarak, komşu iki kutudaki sayıların çarpımının en az 13 ve en fazla 19 olabileceği eşitsizliğinden yola çıkarak, aritmetik ve geometrik ortalama ilişkileri düşünülebilir. Çarpımları bu dar aralıkta kalacak şekilde seçilebilecek en dengeli pozitif tam sayı çiftleri (4, 4) ve (3, 5) olup, her iki durumda da toplam 24 çıkmaktadır.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Rutin Olmayan Problemler

More questions from this topic