Examkin

Question

Difficulty: HardRutin Olmayan Problemler

Hacimleri yeterince büyük olan AA, BB ve CC kaplarında sırasıyla VAV_A, VBV_B ve VCV_C litre su bulunmaktadır. Bu kaplardaki su miktarları üzerinde sırasıyla aşağıdaki adımlar uygulanıyor:

* AA kabındaki suyun 13\frac{1}{3}'ü BB kabına aktarılıyor.
* Ardından, BB kabında biriken suyun 14\frac{1}{4}'ü CC kabına aktarılıyor.
* Son olarak, CC kabında biriken suyun 15\frac{1}{5}'i AA kabına aktarılıyor.

Bu adımların sonucunda kaplardaki su miktarları birbirine eşitlendiğine göre; başlangıçtaki su miktarları olan VAV_A, VBV_B ve VCV_C değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

  1. 1VCV_C
  2. 2VBV_B
  3. 3VAV_A

Answer

Başlangıçtaki su miktarlarının küçükten büyüğe doğru sıralanışı VC<VB<VAV_C < V_B < V_A şeklindedir.
Son durumdan geriye doğru gidildiğinde kaplardaki başlangıç su miktarları sırasıyla VC=2224xV_C = \frac{22}{24}x, VB=2324xV_B = \frac{23}{24}x ve VA=2724xV_A = \frac{27}{24}x olarak elde edilir. Bu değerler karşılaştırıldığında doğru sıralamanın VC<VB<VAV_C < V_B < V_A olduğu açıkça görülmektedir.

Step-by-Step Solution

1
Son durumdan geriye doğru gitmek için son durumda her bir kaptaki su miktarına xx diyelim.
Kaplardaki son su miktarları: A=xA = x, B=xB = x, C=xC = x. Toplam su miktarı: 3x3x litre.
Geriye doğru izlenecek adımlarda ortak bir değişken tanımlamak işlemleri kolaylaştırır.
2
3. adımdan geriye doğru gidelim: CC kabındaki suyun 15\frac{1}{5}'i AA'ya aktarıldığında CC'de xx litre su kalmıştır.
CC'de kalan su: 45⋅Co¨nce=x⇒Co¨nce=54x\frac{4}{5} \cdot C_{\text{önce}} = x \Rightarrow C_{\text{önce}} = \frac{5}{4}x olur. Aktarılan miktar: 14x\frac{1}{4}x olur. Bu durumda 3. adımdan önce AA'da x−14x=34xx - \frac{1}{4}x = \frac{3}{4}x su vardır. BB ise bu adımdan etkilenmediği için xx su barındırır.
3. adımdaki aktarım öncesi durum belirlenerek bir önceki adıma geçiş sağlanır.
3
2. adımdan geriye doğru gidelim: BB kabındaki suyun 14\frac{1}{4}'ü CC'ye aktarıldığında BB'de xx litre su kalmıştır.
BB'de kalan su: 34⋅Bo¨nce=x⇒Bo¨nce=43x\frac{3}{4} \cdot B_{\text{önce}} = x \Rightarrow B_{\text{önce}} = \frac{4}{3}x olur. Aktarılan miktar: 13x\frac{1}{3}x olur. Bu durumda 2. adımdan önce CC'de 54x−13x=1112x\frac{5}{4}x - \frac{1}{3}x = \frac{11}{12}x su vardır. AA ise bu adımdan etkilenmediği için 34x\frac{3}{4}x su barındırır.
2. adımdaki aktarım öncesi kaplardaki su miktarları hesaplanır.
4
1. adımdan geriye doğru giderek başlangıç durumunu bulalım: AA kabındaki suyun 13\frac{1}{3}'ü BB'ye aktarıldığında AA'da 34x\frac{3}{4}x su kalmıştır.
AA'da kalan su: 23⋅VA=34x⇒VA=98x\frac{2}{3} \cdot V_A = \frac{3}{4}x \Rightarrow V_A = \frac{9}{8}x olur. Aktarılan miktar: 38x\frac{3}{8}x olur. Başlangıçta BB kabında VB=43x−38x=2324xV_B = \frac{4}{3}x - \frac{3}{8}x = \frac{23}{24}x su vardır. CC ise ilk adımdan etkilenmediği için VC=1112xV_C = \frac{11}{12}x su barındırır.
Başlangıçtaki VAV_A, VBV_B ve VCV_C miktarları xx cinsinden elde edilir.
5
Bulunan başlangıç değerlerini ortak paydada (2424 paydasında) yazarak karşılaştıralım.
VA=2724xV_A = \frac{27}{24}x, VB=2324xV_B = \frac{23}{24}x ve VC=2224xV_C = \frac{22}{24}x olarak bulunur. Buradan VC<VB<VAV_C < V_B < V_A sıralaması elde edilir.
Rasyonel sayıları kolayca sıralayabilmek için paydaları eşitlenir.

Key Concept

Ters işlem mantığı kullanarak adım adım geriye doğru gitme ve rasyonel sayılarda sıralama.

Alternative Method

Son durumdaki su miktarı olan xx yerine işlem kolaylığı açısından 24k24k seçilerek kesirli sayılarla uğraşmadan tam sayılar üzerinden geriye doğru gidilebilir. Bu durumda son durum A=24kA=24k, B=24kB=24k, C=24kC=24k olur. 3. adım öncesi C=30kC = 30k, A=18kA = 18k olur. 2. adım öncesi B=32kB = 32k, C=22kC = 22k olur. 1. adım öncesi yani başlangıçta A=27kA = 27k, B=23kB = 23k, C=22kC = 22k bulunur.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Rutin Olmayan Problemler

More questions from this topic