Examkin

Question

Difficulty: HardPolinomlarda Dört İşlem
Gerçel katsayılı P(x)P(x) ve Q(x)Q(x) polinomları için,
P(x)⋅Q(x)=2x2−x−3P(x) \cdot Q(x) = 2x^2 - x - 3
P(2x)−2Q(x)=2x−5P(2x) - 2Q(x) = 2x - 5
eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, P(Q(3))P(Q(3)) değeri kaçtır?

Answer: 5

Answer

P(Q(3)) değeri 5'tir.
Verilen iki polinom denkleminden yararlanılarak her iki polinomun da birinci dereceden olduğu saptanır. Polinomların katsayıları P(x)=ax+bP(x) = ax + b ve Q(x)=cx+dQ(x) = cx + d genel formları üzerinden eşitlikler kurularak çözülür. Elde edilen P(x)=2x−3P(x) = 2x - 3 ve Q(x)=x+1Q(x) = x + 1 polinomları kullanılarak P(Q(3))P(Q(3)) bileşke değeri 5 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Polinomların derecelerini belirlemek.
P(x)P(x) ve Q(x)Q(x) polinomlarının her ikisi de 1. derecedendir.
P(x)⋅Q(x)P(x) \cdot Q(x) polinomunun derecesi 2'dir. Eğer polinomlardan biri 2. dereceden diğeri sabit polinom olsaydı, P(2x)−2Q(x)P(2x) - 2Q(x) ifadesinin derecesi de 2 olurdu. Ancak bu ifade 1. dereceden (2x−52x-5) olduğuna göre her iki polinom da 1. dereceden (doğrusal) olmalıdır.
2
Polinomları genel formda yazıp çarpım ve fark işlemlerini uygulamak.
P(x)=ax+bP(x) = ax + b ve Q(x)=cx+dQ(x) = cx + d olsun.
P(x)⋅Q(x)=acx2+(ad+bc)x+bd=2x2−x−3P(x) \cdot Q(x) = acx^2 + (ad + bc)x + bd = 2x^2 - x - 3
P(2x)−2Q(x)=a(2x)+b−2(cx+d)=(2a−2c)x+(b−2d)=2x−5P(2x) - 2Q(x) = a(2x) + b - 2(cx + d) = (2a - 2c)x + (b - 2d) = 2x - 5
Katsayıları karşılaştırarak denklem sistemleri elde etmek.
3
Katsayılar arasındaki denklem sistemini çözmek.
a=2a = 2, c=1c = 1, b=−3b = -3 ve d=1d = 1 bulunur.
2a−2c=2  ⟹  a−c=12a - 2c = 2 \implies a - c = 1 ve ac=2ac = 2 eşitliklerinden a=2,c=1a=2, c=1 veya a=−1,c=−2a=-1, c=-2 elde edilir. Benzer şekilde b−2d=−5b - 2d = -5 ve bd=−3bd = -3 eşitliklerinden d=1,b=−3d=1, b=-3 veya d=1.5,b=−2d=1.5, b=-2 elde edilir. Bu değerlerden ad+bc=−1ad + bc = -1 koşulunu sağlayan tek ikili a=2,c=1,b=−3,d=1a = 2, c = 1, b = -3, d = 1 durumudur.
4
P(x)P(x) ve Q(x)Q(x) polinomlarını yazıp P(Q(3))P(Q(3)) değerini hesaplamak.
Q(3)=4Q(3) = 4 ve P(4)=5P(4) = 5 olup, P(Q(3))=5P(Q(3)) = 5 bulunur.
P(x)=2x−3P(x) = 2x - 3 ve Q(x)=x+1Q(x) = x + 1 olduğundan, bileşke işleminde önce içteki Q(3)Q(3) değeri bulunur, ardından bu değer P(x)P(x) polinomunda yerine yazılır.

Key Concept

Polinomlarda çarpma, çıkarma ve derece özellikleri yardımıyla bilinmeyen polinomları belirleme.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Polinomlarda Dört İşlem

More questions from this topic