Examkin

Question

Difficulty: Very hardParçalı Fonksiyonlar

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir ff fonksiyonu

f(x)={x+3,x<1 ise−(x−3)2+a,x≥1 isef(x) = \begin{cases} x + 3, & x < 1 \text{ ise} \\ -(x-3)^2 + a, & x \geq 1 \text{ ise} \end{cases}

biçiminde tanımlanıyor.

(f∘f)(x)=a(f \circ f)(x) = a eşitliğini sağlayan yalnızca 3 farklı xx gerçel sayısı olduğuna göre, aa tam sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

  1. A
    15
  2. B
    18
  3. 22Answer
  4. D
    25
  5. E
    27

Answer

Doğru yanıt 22'dir. f(f(x))=af(f(x)) = a denkleminin 3 farklı kökü olması için 4≤a≤74 \leq a \leq 7 olmalıdır. Bu aralıktaki aa tam sayıları 4,5,6,74, 5, 6, 7 olup toplamları 2222'dir.
Doğru yanıt olan 22 değeri, f(f(x))=af(f(x)) = a denkleminin 3 farklı gerçel kökü olmasını sağlayan 4≤a≤74 \leq a \leq 7 koşulundaki 4,5,6,74, 5, 6, 7 tam sayılarının toplamıdır.

Step-by-Step Solution

1
Bileşke fonksiyon tanımını kullanarak denklemi düzenleme
f(f(x))=af(f(x)) = a denklemi elde edilir. Burada f(x)=yf(x) = y dönüşümü yapılarak öncelikle f(y)=af(y) = a denklemi çözülür.
Bileşke fonksiyon işlemlerini adım adım çözmek amacıyla içteki ifadeye yeni bir değişken atanır.
2
f(y)=af(y) = a denkleminin köklerini parçalı tanıma göre bulma
y<1y < 1 için y+3=a  ⟹  y=a−3y + 3 = a \implies y = a - 3 (bu kökün geçerli olması için a<4a < 4 olmalı). y≥1y \geq 1 için −(y−3)2+a=a  ⟹  (y−3)2=0  ⟹  y=3-(y-3)^2 + a = a \implies (y-3)^2 = 0 \implies y = 3 (daima geçerli çünkü 3≥13 \geq 1).
Değişkenin tanım aralıklarına göre hangi koşullarda kök oluşturabileceği incelenir.
3
aa parametresinin durumlarına göre kök sayılarını analiz etme
a≥4a \geq 4 durumunda tek geçerli ara değer y=3y = 3 olur. f(x)=3f(x) = 3 denkleminin çözümü: x<1  ⟹  x=0x < 1 \implies x = 0 (1 kök) ve x≥1  ⟹  −(x−3)2+a=3  ⟹  (x−3)2=a−3x \geq 1 \implies -(x-3)^2 + a = 3 \implies (x-3)^2 = a - 3. Bu ikinci kısmın iki farklı gerçel kökü olması ve köklerin ≥1\geq 1 kalması için 3−a−3≥1  ⟹  a≤73 - \sqrt{a-3} \geq 1 \implies a \leq 7 olmalıdır. Dolayısıyla 4≤a≤74 \leq a \leq 7 aralığında toplamda 3 kök (x1=0x_1 = 0, x2=3−a−3x_2 = 3 - \sqrt{a-3}, x3=3+a−3x_3 = 3 + \sqrt{a-3}) elde edilir. a<4a < 4 durumunda ise y=a−3y = a-3 ve y=3y = 3 olmak üzere iki farklı değer oluşur ve toplam kök sayısı 3'ten farklı olur.
Köklerin tanım kümelerine uygunluğunu denetleyerek tam olarak 3 kök sağlayan aralık belirlenir.
4
aa tam sayılarının toplamını hesaplama
aa tam sayısı 4,5,6,74, 5, 6, 7 değerlerini alabilir. Toplamları 4+5+6+7=224 + 5 + 6 + 7 = 22 olur.
Koşulu sağlayan tüm tam sayılar toplanarak nihai sonuca ulaşılır.

Key Concept

Parçalı fonksiyonlarda değer bulma ve bileşke fonksiyon denklemlerinin çözümü
Rate this question

Topics

Parçalı Fonksiyonlar

More questions from this topic