Bir x gerçel sayısının 3 sayısına olan uzaklığı, bu sayının -1 sayısına olan uzaklığının y… — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi)

Bir $x$ gerçel sayısının $3$ sayısına olan uzaklığı, bu sayının $-1$ sayısına olan uzaklığının yarısından küçüktür. Buna göre, $x$ sayısının alabileceği tüm değerlerin kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

$\left( \frac{5}{3}, 7 \right)$ Answer
B
$\left[ \frac{5}{3}, 7 \right]$
C
$\left( -\infty, \frac{5}{3} \right) \cup \left( 7, \infty \right)$
D
$\left( -\infty, \frac{5}{3} \right] \cup \left[ 7, \infty \right)$
E
$\left( -7, -\frac{5}{3} \right)$

Answer

İki sayı arasındaki uzaklık farkını gösteren eşitsizliğin çözüm kümesi açık aralık olarak beş bölü üç ile yedi aralığıdır.

Soruda verilen sözel ifade cebirsel olarak

|x - 3| < \frac{1}{2}|x + 1|

şeklinde modellenir. Bu eşitsizlik çözüldüğünde elde edilen

3x^2 - 26x + 35 < 0

ifadesinin kökleri beş bölü üç ve yedi olup, eşitsizliğin sağlandığı negatif bölge bu iki kökün arasındaki açık aralıktır.

Step-by-Step Solution

Sözel olarak verilen uzaklık ifadesini mutlak değerli eşitsizliğe dönüştürme.

x

sayısının

3

sayısına uzaklığı

|x - 3|

-1

sayısına uzaklığı ise

|x - (-1)| = |x + 1|

olur. Koşula göre eşitsizlik:

|x - 3| < \frac{1}{2}|x + 1|

şeklindedir.

Bir gerçel sayının başka bir sayıya uzaklığı mutlak değer kullanılarak ifade edilir.

Eşitsizliği sadeleştirip her iki tarafın karesini alma.

2|x - 3| < |x + 1| \implies (2x - 6)^2 < (x + 1)^2 \implies 4x^2 - 24x + 36 < x^2 + 2x + 1

elde edilir.

Eşitsizliğin her iki tarafı da pozitif olduğundan, karesini almak eşitsizlik yönünü değiştirmeden mutlak değerleri kaldırmamızı sağlar.

İkinci dereceden eşitsizlik ifadesini düzenleme ve çarpanlarına ayırma.

3x^2 - 26x + 35 < 0 \implies (3x - 5)(x - 7) < 0

elde edilir.

Çözüm aralığını belirlemek amacıyla kökleri bulmak için ifadeyi standart ikinci dereceden formata getiririz.

İşaret tablosu yardımıyla çözüm kümesini bulma.

Kökler

x = \frac{5}{3}

x = 7

olarak bulunur.

3x^2

teriminin katsayısı pozitif olduğundan tablo sağdan

+

ile başlar:

+ \ | \ - \ | \ +

. Eşitsizlik sıfırdan küçük olmalı ve eşitlik içermemelidir. Bu durumda çözüm kümesi

\left( \frac{5}{3}, 7 \right)

olur.

İkinci dereceden bir ifadenin negatif olduğu bölgeyi ve sınır değerlerin dahil olup olmadığını belirlemek için işaret tablosu kullanılır.

Key Concept

Mutlak değerli eşitsizliklerin uzaklık tanımı üzerinden kurulması ve ikinci dereceden eşitsizlik yöntemleriyle çözülmesi.

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic