Examkin

Question

Difficulty: MediumBir Fonksiyonun Tersi

Gerçek sayılar kümesinde tanımlı, bire bir ve örten f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} fonksiyonu

f(x)={2x+6,x<1x2+7,x≥1f(x) = \begin{cases} 2x + 6, & x < 1 \\ x^2 + 7, & x \geq 1 \end{cases}

biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, f−1(11)+f−1(2)f^{-1}(11) + f^{-1}(2) toplamının değeri kaçtır?

Answer: 0

Answer

0
Verilen parçalı fonksiyonun kısımları incelendiğinde, x<1x < 1 için görüntü kümesi (−∞,8)(-\infty, 8) ve x≥1x \geq 1 için görüntü kümesi [8,∞)[8, \infty) aralığıdır. f−1(11)f^{-1}(11) değeri için görüntü 1111 olup 11≥811 \geq 8 olduğundan ikinci parça kullanılır ve x2+7=11  ⟹  x=2x^2 + 7 = 11 \implies x = 2 elde edilir. f−1(2)f^{-1}(2) değeri için ise görüntü 22 olup 2<82 < 8 olduğundan birinci parça kullanılır ve 2x+6=2  ⟹  x=−22x + 6 = 2 \implies x = -2 elde edilir. Bu değerlerin toplamı 2+(−2)=02 + (-2) = 0 olur.

Step-by-Step Solution

1
f−1(11)f^{-1}(11) değerini hesaplamak için f(x)=11f(x) = 11 denklemini çözelim.
f−1(11)=2f^{-1}(11) = 2
Fonksiyonun parçalarını incelediğimizde, x<1x < 1 için f(x)<8f(x) < 8 ve x≥1x \geq 1 için f(x)≥8f(x) \geq 8 değerleri elde edilir. 11≥811 \geq 8 olduğundan, x≥1x \geq 1 için tanımlı olan x2+7=11x^2 + 7 = 11 denklemi çözülmelidir. Buradan x2=4x^2 = 4 elde edilir. x≥1x \geq 1 şartını sağlayan kök x=2x = 2 olduğundan f−1(11)=2f^{-1}(11) = 2 bulunur.
2
f−1(2)f^{-1}(2) değerini hesaplamak için f(x)=2f(x) = 2 denklemini çözelim.
f−1(2)=−2f^{-1}(2) = -2
2<82 < 8 olduğundan, x<1x < 1 için tan��mlı olan 2x+6=22x + 6 = 2 denklemi çözülmelidir. Buradan 2x=−4  ⟹  x=−22x = -4 \implies x = -2 bulunur. Bu değer x<1x < 1 şartını sağladığı için f−1(2)=−2f^{-1}(2) = -2 olur.
3
Elde edilen ters fonksiyon değerlerini toplayalım.
0
f−1(11)+f−1(2)=2+(−2)=0f^{-1}(11) + f^{-1}(2) = 2 + (-2) = 0 bulunur.

Key Concept

Parçalı tanımlı fonksiyonlarda ters fonksiyon değeri bulurken ilgili aralıkların ve tanım kümelerinin kontrol edilmesi.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Bir Fonksiyonun Tersi

More questions from this topic