Bir kenar uzunluğu 3 birim olan bir kare, her birinin bir kenar uzunluğu 1 birim olan 9 eş… — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi)

Bir kenar uzunluğu 3 birim olan bir kare, her birinin bir kenar uzunluğu 1 birim olan 9 eş birim kareye bölünmüştür. Bu 9 birim kareden rastgele 3 tanesi seçilerek boyanacaktır.

Buna göre, boyanan bu 3 birim kareden herhangi ikisinin ortak bir kenara sahip olmama olasılığı kaçtır?

A
$\frac{2}{21}$
B
$\frac{4}{21}$
$\frac{11}{42}$ Answer
D
$\frac{1}{6}$
E
$\frac{5}{14}$

Answer

Ortak kenara sahip olmama olasılığı

\frac{11}{42}

olarak bulunur.

Toplam 84 olası seçim arasından, hiçbirinin birbiriyle ortak kenar paylaşmadığı durumların sayısı; merkez kare seçildiğinde 6, seçilmediğinde ise 16 olmak üzere toplam 22 tanedir. Bu iki sayının oranı sadeleştirildiğinde olasılık 11/42 olur.

Step-by-Step Solution

Toplam seçim sayısını kombinasyon yöntemiyle hesaplayın.

9 birim kareden 3 tanesi

\binom{9}{3} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84

farklı şekilde seçilebilir.

Olasılık hesabındaki örnek uzayın (tüm olası durumların) eleman sayısını belirlemek için.

İstenen durumları belirlemek amacıyla, merkezdeki birim karenin seçildiği durumu (Durum 1) inceleyin.

Merkez kare seçildiğinde, onunla ortak kenarı olan 4 kenar kare seçilemez. Kalan 4 köşe kareden 2'si seçilmelidir. Köşelerin hiçbiri birbiriyle ortak kenara sahip olmadığından bu seçim

\binom{4}{2} = 6

farklı şekilde yapılır.

Merkez karenin seçimi komşuluk yapısını doğrudan kısıtladığı için durum analizine buradan başlanır.

Merkezdeki birim karenin seçilmediği durumu (Durum 2) köşe ve kenar karelerin seçilme sayılarına göre alt durumlara ayırarak inceleyin.

Merkez hariç kalan 8 kareden 3'ü seçilecektir:
- 3 köşe seçimi:

\binom{4}{3} = 4

durum (köşeler komşu değildir).
- 2 köşe, 1 kenar seçimi: Seçilen kenarın komşusu olmayan diğer 2 köşe seçilmelidir. 4 kenar için

4 \times 1 = 4

durum.
- 1 köşe, 2 kenar seçimi: Seçilen 2 kenarın yan yana olması durumunda aralarında kalan köşenin karşısındaki köşe seçilir. 4 farklı yan yana kenar çifti için

4 \times 1 = 4

durum.
- 3 kenar seçimi: Kenarlar komşu olmadığından

\binom{4}{3} = 4

durum.
Toplam durum sayısı:

4 + 4 + 4 + 4 = 16

bulunur.

Merkez karenin seçilmediği tüm olası yerleşimleri eksiksiz ve mükerrer olmadan saymak için.

İstenen durumların toplam sayısını bulup tüm durumlara oranlayın.

İstenen durumların sayısı

6 + 16 = 22

olur. Olasılık değeri ise

\frac{22}{84} = \frac{11}{42}

olarak hesaplanır.

Olasılık tanımı gereği istenen durum sayısının örnek uzay sayısına oranını bulmak için.

Key Concept

Basit Olayların Olasılığı ve Sistematik Durum Sayma

Alternative Method

Tüm durumlardan, en az iki karenin ortak kenara sahip olduğu durumların sayısını çıkartarak (tümleyen yöntemiyle) istenen durum sayısı olan 22'ye ulaşılabilir. Grid üzerindeki komşu ikili sayısı 12'dir. Bu ikililer üzerinden aşırı sayımları (L-şekilleri ve 3'lü düz hatları) dışlama prensibiyle ayıklayarak sonuca gidilebilir.

Estimated Time:3m 0s

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Topics

More questions from this topic