Examkin

Question

Difficulty: MediumPolinomlarda Bölme ve Kalan Bulma

Üçüncü dereceden bir P(x)P(x) polinomu x2−4x^2 - 4 ile kalansız bölünmektedir.

P(x+1)P(x+1) polinomunun x−2x-2 ile bölümünden kalan 2525, P(x−1)P(x-1) polinomunun x−2x-2 ile bölümünden kalan ise −9-9 dur.

Buna göre, P(x)P(x) polinomunun sabit terimi kaçtır?

Answer: -8

Answer

P(x) polinomunun sabit terimi -8'dir.
P(x) polinomunun x^2 - 4 ile kalansız bölünmesi, polinomun P(x) = (x^2 - 4)(ax + b) biçiminde yazılabilmesini sağlar. P(x+1) ve P(x-1) polinomlarının x-2 ile bölümünden kalanlardan sırasıyla P(3) = 25 ve P(1) = -9 eşitlikleri elde edilir. Bu eşitlikler polinomda yerine yazıldığında 3a + b = 5 ve a + b = 3 sistemine ulaşılır. Sistem çözüldüğünde a = 1 ve b = 2 bulunur. Buradan P(x) = (x^2 - 4)(x + 2) polinomunun sabit terimi P(0) = (0 - 4)(0 + 2) = -8 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
P(x) polinomunun genel ifadesini oluşturma
P(x) = (x^2 - 4)(ax + b)
P(x) üçüncü dereceden bir polinomdur ve ikinci dereceden olan x^2 - 4 polinomuna tam bölünmektedir.
2
Birinci kalan bilgisini kullanarak birinci denklemi bulma
3a + b = 5
P(x+1) polinomunun x-2 ile bölümünden kalan 25 ise P(3) = 25 olur. Bu değer genel polinom ifadesinde yerine yazılarak denklem elde edilir.
3
İkinci kalan bilgisini kullanarak ikinci denklemi bulma
a + b = 3
P(x-1) polinomunun x-2 ile bölümünden kalan -9 ise P(1) = -9 olur. Bu değer genel polinom ifadesinde yerine yazılarak denklem elde edilir.
4
a ve b katsayılarını bulmak için denklem sistemini çözme
a = 1, b = 2
Elde edilen 3a + b = 5 ve a + b = 3 iki bilinmeyenli denklem sistemi yok etme yöntemiyle çözülür.
5
P(x) polinomunun sabit terimini hesaplama
-8
Polinomun sabit terimi olan P(0) değeri, elde edilen P(x) = (x^2 - 4)(x + 2) polinomunda x yerine 0 yazılarak bulunur.

Key Concept

Polinomlarda kalan bulma ve polinomların bölünebilme kuralları.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Polinomlarda Bölme ve Kalan Bulma

More questions from this topic