Examkin

Question

Difficulty: MediumKüme Problemleri

Bir yemek akademisinde düzenlenen İtalyan mutfağı (II), Fransız mutfağı (FF) ve Uzak Doğu mutfağı (UU) atölyelerine katılan toplam 4848 aşçı adayı bulunmaktadır. Bu adaylarla ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:
- Her bir aday bu üç atölyeden en az birine katılmıştır.
- İtalyan mutfağı atölyesine katılanların tamamı Fransız mutfağı atölyesine de katılmıştır.
- Uzak Doğu mutfağı atölyesine katılan adayların hiçbirisi İtalyan mutfağı atölyesine katılmamıştır.
- Yalnız bir atölyeye katılan aday sayısı, en az iki atölyeye katılan aday sayısının 22 katıdır.
- Sadece Fransız mutfağı atölyesine katılan aday sayısı, Uzak Doğu mutfağı atölyesine katılan aday sayısının yarısına eşittir.
- Sadece Uzak Doğu mutfağı atölyesine katılan aday sayısı, İtalyan mutfağı atölyesine katılan aday sayısından 88 fazladır.

Buna göre, Fransız ve Uzak Doğu mutfağı atölyelerinin her ikisine birden katılan aday sayısı kaçtır?

  1. A
    22
  2. B
    33
  3. 44Answer
  4. D
    66
  5. E
    88

Answer

Fransız ve Uzak Doğu mutfağı atölyelerinin her ikisine birden katılan aday sayısı 44'tür.
Verilen bilgiler doğrultusunda aşçı adaylarının katıldığı atölyelere göre oluşturulan ayrık bölgelerin eleman sayıları denklemlerle ifade edildiğinde, hem Fransız hem de Uzak Doğu mutfağı atölyesine katılan aşçı adayı sayısı 44 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Atölyelere katılan aşçı adaylarını temsil eden kümeleri belirleyip ayrık bölgeleri tanımlayalım.
II (İtalyan), FF (Fransız) ve UU (Uzak Doğu) kümeleri olsun. I⊆FI \subseteq F ve U∩I=∅U \cap I = \emptyset olduğundan adayları şu 44 ayrık bölgeye ayırabiliriz: Yalnız FF’ye katılanlar (yy), Yalnız UU’ya katılanlar (ww), Hem II hem FF’ye katılanlar (II kümesi, xx), Hem FF hem UU’ya katılanlar (zz).
Kümelerin birbirine göre konumlarını belirleyerek denklem kurmayı kolaylaştırmak.
2
Verilen toplam aday sayısı ve atölye sayılarına göre ilk denklemleri kuralım.
x+y+z+w=48x + y + z + w = 48. Yalnız bir atölyeye katılanlar y+wy + w, en az iki atölyeye katılanlar x+zx + z olduğundan y+w=2(x+z)y + w = 2(x + z) olur. Bu iki denklemin birleşiminden 3(x+z)=48  ⟹  x+z=163(x + z) = 48 \implies x + z = 16 ve y+w=32y + w = 32 elde edilir.
Değişken gruplarının toplam değerlerini hesaplamak.
3
Diğer koşulları denklemlere dökerek değişkenler arası ilişkileri bulalım.
Sadece Fransız mutfağına katılanlar yy, Uzak Doğu mutfağına katılanların (z+wz+w) yarısı olduğuna göre 2y=z+w2y = z + w olur. Sadece Uzak Doğu mutfağına katılanlar (ww), İtalyan mutfağına katılanlardan (xx) 88 fazla olduğuna göre w=x+8w = x + 8 olur.
Bilinmeyenleri tek bir değişkene indirgemek.
4
Elde edilen denklemleri birleştirerek kesişim kümesinin eleman sayısı olan zz'yi bulalım.
x=16−zx = 16 - z olduğundan w=(16−z)+8=24−zw = (16 - z) + 8 = 24 - z olur. y+w=32  ⟹  y+24−z=32  ⟹  y=z+8y + w = 32 \implies y + 24 - z = 32 \implies y = z + 8 olur. Bunları 2y=z+w2y = z + w denkleminde yazarsak 2(z+8)=z+24−z  ⟹  2z+16=24  ⟹  2z=8  ⟹  z=42(z + 8) = z + 24 - z \implies 2z + 16 = 24 \implies 2z = 8 \implies z = 4 elde edilir.
Kesişim bölgesinin eleman sayısını doğrudan hesaplamak.

Key Concept

Kümelerde alt küme, kesişim ve fark işlemleri ile küme problemleri çözümü

Alternative Method

Denklemleri çözmek yerine Venn şeması üzerinde bölgelere değerler verilerek deneme-yanılma yöntemiyle de doğru sonuca ulaşılabilir. Örneğin x+z=16x+z=16 olduğu bulunduktan sonra seçeneklerden yola çıkarak zz için değerler denenebilir. z=4z=4 için x=12x=12, w=20w=20, y=12y=12 bulunur ve tüm koşulların sağlandığı görülür.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Küme Problemleri

More questions from this topic