Examkin

Question

Difficulty: HardBire Bir ve Örten Fonksiyonlar
aa bir tam sayı olmak üzere, tam sayılar kümesi üzerinde tanımlı
f(n)=a⋅n+(−1)nf(n) = a \cdot n + (-1)^n
fonksiyonu veriliyor.

ff fonksiyonu bire bir olduğuna göre,

I. aa sayısı 2 olamaz.
II. ff fonksiyonunun örten olması için aa sayısının alabileceği 2 farklı değer vardır.
III. a=3a = 3 için ff fonksiyonunun görüntü kümesinde 3 ile kalansız bölünebilen en az bir tam sayı bulunur.

ifadelerinden hangileri doğrudur?

  1. A
    Yalnız I
  2. B
    Yalnız II
  3. I ve IIAnswer
  4. D
    I ve III
  5. E
    II ve III

Answer

I ve II öncüllerinin doğru olduğunu belirten seçenek
Doğru seçenek olan I ve II öncüllerini içeren şık doğrudur. Çünkü a=2a=2 değeri için fonksiyonun farklı iki noktada aynı değeri alması bire birliği bozduğundan aa sayısı 2 olamaz. Fonksiyonun örtenliği ise tanım kümesindeki tam sayı yapısından dolayı parametrenin yalnızca 11 veya −1-1 olmasına bağlıdır. a=3a=3 için fonksiyon çıktılarının 3 ile bölümünden kalanlar asla 0 olamayacağı için görüntü kümesinde 3 ile bölünen eleman bulunmaz.

Step-by-Step Solution

1
Bire birlik tanımını kullanarak birinci öncülün (a≠2a \neq 2) analizi
a=2a = 2 için fonksiyon f(n)=2n+(−1)nf(n) = 2n + (-1)^n hâlini alır. Bu durumda f(0)=2(0)+(−1)0=1f(0) = 2(0) + (-1)^0 = 1 ve f(1)=2(1)+(−1)1=2−1=1f(1) = 2(1) + (-1)^1 = 2 - 1 = 1 elde edilir. Farklı iki girdi (0≠10 \neq 1) aynı çıktıya (11) gittiğinden fonksiyon bire bir olamaz. Dolayısıyla bire bir olan bu fonksiyonda aa sayısı 2 olamaz, birinci öncül doğrudur.
Fonksiyonun bire bir olması, tanım kümesindeki her farklı elemanın değer kümesinde farklı bir elemana eşlenmesini gerektirir.
2
Örtenlik tanımını kullanarak ikinci öncülün analizi
Görüntü kümesinin tüm tam sayılar kümesini kaplaması için ∣a∣≤1|a| \le 1 olmalıdır. Eğer ∣a∣>1|a| > 1 (örneğin a≥2a \ge 2 veya a≤−2a \le -2) olursa, ardışık çift ve tek girdilerin ürettiği çıktılar arasındaki fark çok büyüyecek ve arada kalan tam sayılar örtülemeyecektir. a=0a = 0 için f(n)=(−1)nf(n) = (-1)^n olur ve sadece {−1,1}\{-1, 1\} kümesini örter. a=1a = 1 için f(n)=n+(−1)nf(n) = n + (-1)^n ve a=−1a = -1 için f(n)=−n+(−1)nf(n) = -n + (-1)^n fonksiyonları bire bir ve örtendir. Dolayısıyla aa sayısı 11 veya −1-1 olmak üzere tam olarak 2 farklı değer alabilir, ikinci öncül doğrudur.
Örten fonksiyonlarda değer kümesinde (tam sayılar) eşleşmemiş eleman kalmamalıdır. Katsayının büyümesi adımlar arasındaki mesafeyi açarak örtenliği bozar.
3
Modüler aritmetik kullanarak üçüncü öncülün analizi
a=3a = 3 için fonksiyon f(n)=3n+(−1)nf(n) = 3n + (-1)^n olur. Bu ifadenin 3 ile bölümünden kalanı (mod 3 altındaki durumunu) inceleyelim: f(n)≡3n+(−1)n≡(−1)n(mod3)f(n) \equiv 3n + (-1)^n \equiv (-1)^n \pmod 3 elde edilir. nn çift ise f(n)≡1(mod3)f(n) \equiv 1 \pmod 3, nn tek ise f(n)≡−1≡2(mod3)f(n) \equiv -1 \equiv 2 \pmod 3 olur. Çıktıların kalanları hiçbir zaman 0 olamayacağından, görüntü kümesinde 3'e tam bölünen hiçbir sayı bulunmaz, üçüncü öncül yanlıştır.
Görüntü kümesindeki elemanların bölünebilme özelliklerini incelemek için modüler aritmetik analizi en doğrudan yoldur.

Key Concept

Tam sayılarda tanımlı fonksiyonlarda katsayı ve terim değişimlerine göre bire birlik ile örtenlik durumlarının incelenmesi
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Bire Bir ve Örten Fonksiyonlar

More questions from this topic