Examkin

Question

Difficulty: HardBire Bir ve Örten Fonksiyonlar
Gerçel sayılar kümesinde tanımlı
f(x)=∣x−3∣+mx+2f(x) = |x - 3| + mx + 2
fonksiyonu bire bir ve örten bir fonksiyondur.

Buna göre, mm ger��el sayısının alabileceği değerlerin kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    (−1,1)(-1, 1)
  2. (−∞,−1)∪(1,∞)(-\infty, -1) \cup (1, \infty)Answer
  3. C
    [−1,1][-1, 1]
  4. D
    (−∞,−1]∪[1,∞)(-\infty, -1] \cup [1, \infty)
  5. E
    R∖{−1,1}\mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}

Answer

m gerçel sayısının alabileceği değerlerin kümesi, eksi sonsuz ile eksi bir açık aralığı ile bir ile artı sonsuz açık aralığının birleşimidir.
Gerçel sayılar kümesinde sürekli olan parçalı doğrusal bir fonksiyonun bire bir ve örten olabilmesi için her iki parçadaki doğrusal grafiklerin eğimlerinin aynı işaretli olması gerekir. Bu durum (m+1)(m−1)>0(m+1)(m-1) > 0 eşitsizliğini doğurur. Eşitsizliğin çözüm kümesi ise eksi sonsuz ile eksi bir açık aralığı ile bir ile artı sonsuz açık aralığının birleşimidir.

Step-by-Step Solution

1
Mutlak değerli ifadenin kritik noktasını belirleyip fonksiyonu parçalı tanımlı yazalım.
Kritik nokta x=3x = 3 değeridir. Fonksiyon x≥3x \ge 3 ve x<3x < 3 durumlarına göre ikiye ayrılır.
Mutlak değer dışına çıkarma işlemini doğru yapabilmek için kritik noktaya göre inceleme yapılması gerekir.
2
x≥3x \ge 3 için fonksiyonun kuralını belirleyelim.
f(x)=(x−3)+mx+2=(m+1)x−1f(x) = (x - 3) + mx + 2 = (m + 1)x - 1 elde edilir. Bu aralıktaki eğim m+1m + 1 değeridir.
x≥3x \ge 3 iken ∣x−3∣=x−3|x-3| = x-3 olarak dışarı çıkar.
3
x<3x < 3 için fonksiyonun kuralını belirleyelim.
f(x)=−(x−3)+mx+2=(m−1)x+5f(x) = -(x - 3) + mx + 2 = (m - 1)x + 5 elde edilir. Bu aralıktaki eğim m−1m - 1 değeridir.
x<3x < 3 iken ∣x−3∣=−(x−3)|x-3| = -(x-3) olarak dışarı çıkar.
4
Fonksiyonun bire bir ve örten olma koşulunu uygulayalım.
Tanımlı olduğu tüm gerçel sayılarda sürekli olan bu parçalı doğrusal fonksiyonun bire bir ve örten olabilmesi için daima artan veya daima azalan olması gerekir. Bu da her iki bölgedeki eğimlerin aynı işaretli olması, yani çarpımlarının pozitif olması anlamına gelir: (m+1)(m−1)>0(m + 1)(m - 1) > 0. Buradan m>1m > 1 veya m<−1m < -1 elde edilir.
Eğimler zıt işaretli olsaydı fonksiyon bir bölgede artarken diğerinde azalacaktı ve yatay doğru testini geçemeyecekti. Eğimlerden biri sıfır olsaydı sabit fonksiyon oluşur ve yine bire birlik bozulurdu.

Key Concept

Parçalı Doğrusal Fonksiyonların Bire Bir ve Örtenlik Şartı
Rate this question

Topics

Bire Bir ve Örten Fonksiyonlar

More questions from this topic