Examkin

Question

Difficulty: HardPolinomlarda Bölme ve Kalan Bulma

Gerçel katsayılı bir P(x)P(x) polinomunun x2−7x+10x^2 - 7x + 10 ile bölümünden kalan 2x+112x + 11'dir.

Buna göre, P(x+2)P(x+2) polinomunun x2−3xx^2 - 3x ile bölümünden kalan aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    2x+112x + 11
  2. 2x+152x + 15Answer
  3. C
    2x+132x + 13
  4. D
    −2x+21-2x + 21
  5. E
    6x+156x + 15

Answer

2x + 15
Polinom bölme algoritmasına göre P(x)=(x−2)(x−5)B(x)+2x+11P(x) = (x-2)(x-5)B(x) + 2x + 11 yazılabilir. P(x+2)P(x+2) polinomunu elde etmek için xx yerine x+2x+2 yazarsak P(x+2)=x(x−3)B(x+2)+2(x+2)+11=(x2−3x)B(x+2)+2x+15P(x+2) = x(x-3)B(x+2) + 2(x+2) + 11 = (x^2-3x)B(x+2) + 2x + 15 elde edilir. Bölen x2−3xx^2-3x polinomunun derecesi 2 ve elde edilen 2x+152x+15 ifadesinin derecesi 1 olduğundan, kalan doğrudan 2x+152x+15 olur.

Step-by-Step Solution

1
P(x)P(x) polinomunun bölme algoritmasını yazarak P(2)P(2) ve P(5)P(5) değerlerini bulmak.
P(2)=15P(2) = 15 ve P(5)=21P(5) = 21 olarak bulunur.
P(x)P(x)'in x2−7x+10=(x−2)(x−5)x^2 - 7x + 10 = (x-2)(x-5) ile bölümünden kalan 2x+112x+11 olduğundan, x=2x = 2 ve x=5x = 5 değerleri için P(2)=2(2)+11=15P(2) = 2(2)+11=15 ve P(5)=2(5)+11=21P(5) = 2(5)+11=21 eşitlikleri elde edilir.
2
P(x+2)P(x+2) polinomunun x2−3xx^2 - 3x ile bölümünden kalanı tanımlamak.
Kalan R(x)=ax+bR(x) = ax + b formundadır ve P(x+2)=(x2−3x)Q(x)+ax+bP(x+2) = (x^2 - 3x)Q(x) + ax + b eşitliği yazılır.
Bölen polinomun derecesi 2 olduğundan, kalanın derecesi en fazla 1 olabilir.
3
Eşitlikte bölenin köklerini (x=0x = 0 ve x=3x = 3) yerine yazarak denklem sistemi kurmak.
x=0x = 0 için P(2)=b=15P(2) = b = 15 ve x=3x = 3 için P(5)=3a+b=21P(5) = 3a + b = 21 denklemleri elde edilir.
Bölen polinomu sıfırlayan değerler kullanılarak kalan polinomunun katsayıları bulunur.
4
Denklem sistemini çözerek aa ve bb değerlerini bulmak.
b=15b = 15 değeri ikinci denklemde yerine yazıldığında 3a+15=213a + 15 = 21 denkleminden a=2a = 2 elde edilir. Böylece kalan R(x)=2x+15R(x) = 2x + 15 olarak bulunur.
Sistemden elde edilen katsayılar doğrudan kalan polinomunu oluşturur.

Key Concept

Polinomlarda bölme algoritması, kalan bulma ve öteleme (bileşke) uygulamaları.

Alternative Method

Öteleme yöntemi doğrudan kullanılabilir. P(x)=(x−2)(x−5)B(x)+2x+11P(x) = (x-2)(x-5)B(x) + 2x + 11 olarak yazıldığında, xx yerine x+2x+2 yazarsak P(x+2)=x(x−3)B(x+2)+2(x+2)+11=(x2−3x)B(x+2)+2x+15P(x+2) = x(x-3)B(x+2) + 2(x+2) + 11 = (x^2-3x)B(x+2) + 2x + 15 elde edilir. Bölen x2−3xx^2-3x ve elde edilen 2x+152x+15 ifadesinin derecesi bölenin derecesinden küçük olduğundan kalan doğrudan 2x+152x+15 olarak bulunur.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Polinomlarda Bölme ve Kalan Bulma

More questions from this topic