Examkin

Question

Difficulty: MediumRutin Olmayan Problemler

Defne, evinin bahçesindeki 9 basamaklı bir merdiveni oyun oynayarak çıkmak istemektedir. Defne, bu merdiveni her adımında ya 1 basamak ya da 2 basamak yukarı doğru adım atarak tırmanacaktır. Ancak oyunun kuralı gereği, Defne merdiveni tırmanırken ardışık iki adımının her ikisinde de 2 basamak birden çıkmamaktadır. Buna göre, Defne bu merdivenin en üst basamağına kaç farklı şekilde tırmanabilir?

Answer: 28 farklı şekilde

Answer

Defne, merdivenin en üst basamağına 28 farklı şekilde tırmanabilir.
Soruda verilen kurala göre Defne'nin attığı 2 basamaklık adımlar ardışık olamaz. Bu durumları sistematik olarak 2 basamaklık adımların sayısına (0, 1, 2, 3) göre sınıflandırırız. Sırasıyla 1, 8, 15 ve 4 farklı sıralama elde edilir. Bu bağımsız durumların toplamı olan 28 sayısı doğru cevabı verir.

Step-by-Step Solution

1
Merdivenin toplam basamak sayısı olan 9'u tamamlamak için kullanılabilecek 2 basamaklık adımların sayısına göre olası durumları belirlemek.
Defne en fazla 3 adet 2 basamaklık adım atabilir (4 adet 2 basamaklık adım 8 basamak yapar ancak kalan 1 basamak ardışıklık kuralını bozmadan yerleştirilemez). O halde 2 basamaklık adım sayısı 0, 1, 2 veya 3 olabilir.
Soruda ardışık iki adımda da 2 basamak çıkılamayacağı kuralı bulunduğu için 2 basamaklık adımların sayısını sınırlayarak durumları ayrı ayrı incelemeliyiz.
2
Sadece 1 basamaklık adımlarla çıkma durumunu hesaplamak.
9 adet 1 basamaklık adım atılır. C(9, 0) = 1 farklı yol vardır.
Hiç 2 basamaklık adım atılmadığında tüm adımlar özdeş 1 basamaklıktır ve tek bir sıralama mevcuttur.
3
1 adet 2 basamaklık adım ve 7 adet 1 basamaklık adım atma durumunu hesaplamak.
Toplam 8 adım atılır. Bunlardan 1 tanesi 2'lik, 7 tanesi 1'liktir. C(8, 1) = 8 farklı yol vardır.
Yalnızca bir adet 2 basamaklık adım olduğu için ardışık gelme riski yoktur, bu nedenle doğrudan tekrarlı permütasyon veya kombinasyon kullanılabilir.
4
2 adet 2 basamaklık adım ve 5 adet 1 basamaklık adım atma durumunu boşluk (ayraç) yöntemiyle hesaplamak.
5 adet 1'lik adım yan yana dizildiğinde oluşan 6 boşluğa 2 adet 2'lik adım yerleştirilir. C(6, 2) = 15 farklı yol vardır.
2 basamaklık adımların ardışık gelmesini engellemek için, onları 1 basamaklık adımların oluşturduğu boşluklara dağıtmamız gerekir.
5
3 adet 2 basamaklık adım ve 3 adet 1 basamaklık adım atma durumunu boşluk yöntemiyle hesaplamak.
3 adet 1'lik adım yan yana dizildiğinde oluşan 4 boşluğa 3 adet 2'lik adım yerleştirilir. C(4, 3) = 4 farklı yol vardır.
2 basamaklık adımların yan yana gelmemesi için 3 adet 1 basamaklık adımın oluşturduğu 4 boşluktan 3 tanesi seçilmelidir.
6
Bulunan tüm durumları toplamak.
1 + 8 + 15 + 4 = 28 farklı durum elde edilir.
Tüm durumlar birbirinden bağımsız (ayrık) olduğu için toplama kuralı uygulanır.

Key Concept

Koşullu durumlarda tekrarlı permütasyon veya ayraç/boşluk yöntemi kullanarak nesnelerin yan yana gelmeme durumlarının hesaplanması.
Rate this question

Topics

Rutin Olmayan Problemler

More questions from this topic